2 球頂刃口曲線設計難點及解決方法

1. 螺旋刃口的設計難點
   令球頭銑刀的球面方程為 r=｛(R²-z²)^½cosf，(R²-z²)^½ sinf，z｝ (1)式中：R———球面半徑
   z，f———球面參數
   球面上與軸線成定角y 的刃口曲線應當滿足微分方程 (2)
   當R²tan²y-z²sec²y<0，即在z> Rsiny 時微分方程無實解，也即在此部分球面上設計不出與軸線成y 角的刃口曲線。
2. 后續平面刃口曲線
   由于在球頭上z∈［Rsiny，R］的部分區域內設計不出與軸線成y 角的刃口曲線，因此只能用其它刃口曲線替代，最簡單的方法是用平面刃口曲線替代。如要保證刃口曲線在連接點處的一階導數連續，且前角相等，取z=Rsiny 的刃口曲線點作為連接點并不合適。由《球頭銑刀刃口曲線的求解及螺旋溝槽的二軸聯動數控加工》可知，磨削溝槽時砂輪的軸向、徑向進給速度分別為 (3)(4)式中：r——溝槽底部所在的截圓半徑
   w——刀體回轉角速度
   圖1 進給速度曲線
   圖2 刃口曲線的截面
   由圖1 所示速度變化曲線可知，當加工接近z=Rsiny 的溝槽時，進給速度v#p#分頁標題#e#_z、v_g均趨于無窮大，這在實際制造中是無法實現的。因此，在選擇連接點時，應離開z=Rsiny 一定距離，避免因進給速度劇變而給工程實現帶來的困難，選取z=Rsin(y -y₀)(y₀>0)即可解決這一難題。
   下面的問題是求平面方程。雖然許多文獻均提及這一問題，但均未給出數學模型，故簡介如下：由《球頭銑刀刃口曲線的求解及螺旋溝槽的二軸聯動數控加工》可求出z=Rsin(y-y₀)時得到的刃口點A的坐標( x₁，y₁，z₀)(如圖2所示)以及A點刃口的切線向量為 r₁’=( x₁’，y₁’，z₁’) (5)
   由A 點作Z 軸垂線交Z 軸于B 點，則B 點坐標為(0，0，z₀)，因此刃口所在平面除過A 點和切向量r₁’外，還需過與AB 成g 角的前刀面上的截線AC，由直角三角形ABC 中∠C=p/2，∠BAC=g(前角)可知，C 點坐標( x^*，y^*，z₀)滿足方程組 (6)由上述方程組求出x^*和y^*，則刃口所在平面方程為 ｛x₁’，y₁’，z₁’｝×｛x^*-x₁，y^*-y₁，0｝×｛x-x₁，y-y₁，z-z₀｝=0即 z₁(’ y₁-y^*)( x-x₁)+z₁(’ x^*-x₁)( y-y₁)+［ x₁(’ y^*-y₁)-y₁(’ x^*-x₁)］( z-z₀)=0 (7)
   平面方程(7)與球面方程(1)的交線即為刃口曲線。顯然，這一刃口曲線既與原設計刃口在連接處連續，又對應前刀面有前角g。
3. 后續螺旋刃口曲線
   如許多文獻所述，平面刃口不利于排屑，有文獻提出用橢圓柱與球面交線作為刃口曲線的設想，其目的也是有利于排屑。為使本文不致過于冗長，這里僅對采用另外兩種定義(與經線成定角和等螺距)的刃口曲線替代球頭上z∈［Rsin(y-y₀)，R］部分刃口曲線的思路作一簡介。
   事實上，《球頭銑刀刃口曲線的求解及螺旋溝槽的二軸聯動數控加工》已給出了與經線成定角和等螺距兩種刃口曲線的整套計算公式，因此關鍵在于連接點處的計算。這比采用平面刃口法更易處理，只需將點A( x₁，y₁，z₀)的參數f=f( z₀)設為求替代刃口曲線在該點相應參數f 時的積分初值即可，這相當于將與經線成定角(或等螺距)的螺旋線連接到已有的與軸線成定角的螺旋線上，由于前角一致，故可按《球頭銑刀刃口曲線的求解及螺旋溝槽的二軸聯動數控加工》的相應方法進行加工，即可得到復合型的兩段螺旋刃口及溝槽。

3 球頂刃口曲線的加工問題

4 計算機虛擬制造驗證

圖3 銑刀球頭溝槽截形對比

5 結語