長期的生產(chǎn)實踐和理論分析都表明：對齒輪沿齒廓和齒向作適當(dāng)?shù)男扌?，可以消除嚙合沖擊和齒向載荷集中，齒間載荷分配更加合理，齒向載荷分布更加均勻，嚙合噪音降低，傳動更加平穩(wěn)[1-3]。近年來，齒輪修形技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各種重要齒輪傳動。目前的齒輪修形一般通過刀具修形或磨削成形來獲得最后修形表面。這樣的方法效率低、成本高、加工柔性差，而且質(zhì)量、精度難以控制。對于多聯(lián)齒輪和內(nèi)齒輪，則無法實現(xiàn)修形加工。隨著數(shù)控加工技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)控機(jī)床加工齒輪及齒面修形的技術(shù)日益獲得重視。數(shù)控加工齒輪修形克服了傳統(tǒng)加工方法的缺點(diǎn)，能夠保證高精度的要求。本文研究齒輪修形的數(shù)控加工規(guī)律，提出采用標(biāo)準(zhǔn)插齒刀在三軸數(shù)控插齒機(jī)上實現(xiàn)齒輪的齒廓修形加工方法。

　　1 數(shù)字化共扼曲面求解及數(shù)控插齒修形加工分析

　　非數(shù)控的普通插齒機(jī)，其刀具與齒坯的展成運(yùn)動是定速比運(yùn)動，由漸開線齒形的刀具展成出漸開線的齒廓。如果要采用漸開線齒形刀具加工出偏離漸開線的修形齒廓，則必須根據(jù)修形齒形在任意時刻改變瞬時相對運(yùn)動速比。因此，本加工方法必須在數(shù)控插齒機(jī)上才能完成，而特定時刻的瞬時相對運(yùn)動速比是由刀具和被加工齒廓的共扼關(guān)系所確定的。要獲得數(shù)控編程所需要的運(yùn)動參數(shù)，首先需要進(jìn)行共扼關(guān)系的分析計算。在早期的修形齒廓中，大多數(shù)都是解析表達(dá)的，而基于有限元邊界元等方法的齒廓修形計算，所給出的結(jié)果通常是離散的。解析表達(dá)的可以離散為數(shù)值表達(dá)，因此，解決數(shù)字化齒面共輾求解，就解決了所有的修形齒面共扼求解問題，歸結(jié)起來，就是首先要解決數(shù)字化共扼曲面求解問題。

　　數(shù)字化共扼曲面原理研究由離散點(diǎn)集描述的數(shù)字化曲面與數(shù)字化曲面之間，或數(shù)字化曲面與共扼解析曲面之間的聯(lián)系與運(yùn)動及其相互轉(zhuǎn)化規(guī)律。數(shù)字化共扼曲面原理脫胎于傳統(tǒng)的解析理論，應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)值方法，離散數(shù)學(xué)以及計算機(jī)對數(shù)據(jù)離散處理的能力，將宏觀的連續(xù)曲面共扼問題轉(zhuǎn)化為微觀的離散共扼問題[4]。

　　如圖1所示，一對共扼曲面要滿足兩個條件：

　　圖1 兩曲面的共軛運(yùn)動

　　對于齒輪的數(shù)控插齒修形，由于只考慮齒廓修形，因此可簡化為二維數(shù)字化修形齒面與刀具齒面之間的共扼運(yùn)動[5]。如圖2所示，o-xy為固定坐標(biāo)系，o1-x1y1為與插齒刀相固聯(lián)的動坐標(biāo)系，o2-x2y2是與二維數(shù)字化齒面相固聯(lián)的動坐標(biāo)系，op-xpyp為輔助坐標(biāo)系，圖3表示插齒刀的齒形。在坐標(biāo)系o1-x1y1中，插齒刀上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)P(x1，y1)，該點(diǎn)處斜率為k1，在坐標(biāo)系o2-x2y2中修形齒面上的一點(diǎn)P’(x2，y2)，該點(diǎn)處斜率為k2。當(dāng)插齒刀轉(zhuǎn)動φ1，被加工齒輪轉(zhuǎn)動時φ2時，P和P’處于共扼接觸。

　　圖2 數(shù)控插齒加工坐標(biāo)系

　　圖3 插齒刀齒形

　　在固定坐標(biāo)系下P和P’滿足下列共扼條件：

　　在上述方程組中，已知數(shù)字化修形齒面上一點(diǎn)的坐標(biāo)x2，y2和斜率k2，而插齒刀上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x1，y1及斜率k1可由插齒刀在此點(diǎn)的壓力角來表示，即x1=x1(α1)，y1=y1(α1)， k1=k1(α1)，且中心距α也為可求。故此方程組為三元非線性方程組，未知參量為φ1，φ2，α1這3個。通過數(shù)值解法即可解此方程組。φ1為插齒刀的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，φ2為齒坯的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。這樣，由代表數(shù)字化齒面的數(shù)字化點(diǎn)的一組參數(shù)x2，y2，k2可唯一確定一組α1，φ1，φ2，從而唯一確定了插齒刀具形成面上與數(shù)字化齒面點(diǎn)(x2，y2)共扼的一點(diǎn)(x1，y1)以及這一對共扼點(diǎn)達(dá)到接觸位置所需的兩個離散共扼運(yùn)動φ1，φ2。

　　已知插齒刀齒形和修形齒面的數(shù)字化點(diǎn)坐標(biāo)及其斜率，都可以求解求插齒刀和修形齒面的相互運(yùn)動，而且求解精度也達(dá)到要求。如果僅知道修形齒面的坐標(biāo)點(diǎn)，則可以通過樣條插值或Hermite插值求出各點(diǎn)的斜率。

　　齒廓修形包括齒頂修形和齒根修形。一般情況下，為了保證齒根彎曲強(qiáng)度，只對齒頂進(jìn)行修形，特殊情況下才會對齒頂和齒根均進(jìn)行修形。齒廓修形有3個重要參數(shù)：修形量，修形長度和修形曲線。當(dāng)這3個參數(shù)確定以后修形曲線就可以確定了，然后對其進(jìn)行離散，就可以得到二維數(shù)字化修形齒面。

　　插齒刀是一組各段剖面為不同變位系數(shù)的變位齒輪的疊加，但插齒加工中起作用的是前端面。由于插齒刀在使用中前端面不斷磨損，因此在修形加工前要測出插齒刀前端面的實際變位系數(shù)?？梢詫崪y出插齒刀前端面的公法線長度Wk，再由下式計算[6]。

　　2 運(yùn)動求解及數(shù)控編程

　　當(dāng)插齒刀和修形齒面確定以后，就可以對其進(jìn)行運(yùn)動求解。一般情況下，所求得的插齒刀和齒輪運(yùn)動的傳動比是時刻變化的。在三軸數(shù)控插齒機(jī)上，即插齒刀和工件的圓周運(yùn)動的傳動比可以時刻變化，這就使在數(shù)控插齒機(jī)上加工修形齒面成為可能。

　　實際加工是以時間參數(shù)t為變量的連續(xù)加工，必須將離散展成共扼運(yùn)動插值成連續(xù)共扼運(yùn)動。對于每一個φ2，對應(yīng)一個φ1和其一階導(dǎo)數(shù)P，若給定n個插值節(jié)點(diǎn)φ2=φ21，φ22，…，φ2n，則對應(yīng)有φ1=φ11，φ12，…，φ1m和P=P1，P2，…，Pn。則連續(xù)運(yùn)動φ1=(φ2)可用分段Hermite插值求得。其插值密度由數(shù)控加工系統(tǒng)相應(yīng)軸的分辯率決定。

　　在φ2∈[φ2，k，φ2，k+1]區(qū)間上，φ1(φ2)的表達(dá)式為

　　令k=1，…，n-1，則在φ2∈[φ2，1，φ2，n]，可求得φ1(φ2)∈[φ1，1，φ1，n]，即φ1(φ2)是給定區(qū)間的連續(xù)函數(shù)。

　　令

　　φ2=w2t(w2=const) (5)

　　有

　　φ1=φ1(φ2)=φ1(w2t)=φ1(t) (6)

　　φ2(t)，φ1(t)即為實際展成齒面二個運(yùn)動軸的真實運(yùn)動。

　　得到兩個軸的運(yùn)動數(shù)據(jù)后就可以按其運(yùn)動編寫數(shù)控代碼。在加工中可以按從修形起點(diǎn)到齒頂點(diǎn)的順序進(jìn)行修形，也可以按相反順序進(jìn)行修形。與加工漸開線齒輪不同的是，由于在修形加工中改變了定比傳動關(guān)系，插齒刀轉(zhuǎn)動相對變慢，因此只能逐側(cè)齒廓進(jìn)行修形，即修完一側(cè)齒廓后再加工另一側(cè)齒廓。

　　3 加工干涉分析

　　用標(biāo)準(zhǔn)漸開線插齒刀實現(xiàn)齒廓修形，在工件齒頂漸開線成形段，因重合度大于1的影響，插齒刀與工件一般處于雙齒成形嚙合切削區(qū)，這樣如果仍按照常規(guī)的嚙合展成齒形的傳動規(guī)律來展成修切齒廓1的齒頂時，勢必干涉破壞另一齒廓2的根部形狀，干涉仿真如圖4和圖5所示。

　　圖4 修形加工干涉

　　圖5 干涉放大圖

　　為解決這一問題，可采取的措施：

　　(1)對齒頂和齒根同時修形，且要求在雙嚙合區(qū)齒頂?shù)凝X根的修形相匹配，即雙嚙合區(qū)中一齒廓的齒頂與另一齒廓齒根的成形切削同時完成。

　　(2)如果只對齒頂進(jìn)行修形，則可以采用中心分離的辦法。即增大插齒刀與被加工齒輪的中心距，使修形加工中重合度始終小于1，則插齒刀一直處于單齒嚙合狀態(tài)，因此修形過程中不會產(chǎn)生對相鄰齒的加工干涉。中心分離的距離可以按重合度小于1計算，最直接的辦法是以插齒刀的齒頂點(diǎn)來加工修形部分的起點(diǎn)，通過這兩個點(diǎn)的共扼關(guān)系就可以確定中心分離以后的中心距。此時，加工中首先要先加工出標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，對齒輪的修形要作為一個獨(dú)立的工序放在加工的最后一步完成。

　　4 加工實驗研究

　　4.1 加工實驗

　　實驗已知條件：插齒刀齒數(shù)z1=18，被加工齒輪齒數(shù)z2=18，模數(shù)mn=6，壓力角α=20°，插齒刀前端面公法線測量值，=46.05，插齒刀的齒頂高系數(shù)h=1，3，齒輪修形曲線為圓弧，齒輪修形量dmax=45um，齒輪修形長度hmax=6mm(為使修形更明顯，實驗時取較大的修形參數(shù))。在被加工的齒輪修形部分取巧個型值點(diǎn)，并按數(shù)字化共扼曲面原理進(jìn)行運(yùn)動求解，如表1所示，并將所得運(yùn)動進(jìn)行插值，如表2所示。

　　表1 插值實驗數(shù)據(jù)

　　表2 插值后兩個數(shù)控軸的運(yùn)動數(shù)據(jù)

　　為了保證加工精度，運(yùn)動插值要有比較小的步長;而從表2中可以看出加工修形的運(yùn)動數(shù)據(jù)與加工漸開線齒輪的定比傳動運(yùn)動數(shù)據(jù)相差很小，并且修形量越小，差異越小。由于數(shù)控機(jī)床的最小增量單位為0.001°或0.0001°，如果步長較小，當(dāng)差異小于0. 0001度時，就會和加工漸開線齒輪的運(yùn)動一樣，不能正確的加工修形齒輪。因此在插值時必須選取合適的步長，并且數(shù)控機(jī)床的最小增量單位最好選為0.0001°。

　　4.2 修形齒廓的檢驗

　　實驗加工的修形齒輪如圖6所示。為了檢驗修形效果，需對該齒輪進(jìn)行測量。本實驗中插齒機(jī)的加工精度為7級，查資料得該齒輪的允許齒廓偏差Fm=19μm[7]。參照漸開線齒形的測量方法，對修形齒廓的檢驗方法有兩種：

　　(1)在漸開線齒形測量儀上測量。由于一般齒形測量儀是用來測量漸開線齒輪的，因而測量修形齒輪要考慮修形部分的影響。本實驗在SP-60漸開線測量儀上測量3個齒面，測量結(jié)果如圖7所示，從圖中可以看出修形齒輪的齒廓曲線的走勢與修形曲線基本符合。3個齒面的齒面偏差分別為-60.1 μm，-57.8μm和-50.5μm，除去修形量45μm的影響，因此所加工的修形齒輪的齒廓精度滿足要求。

　　圖6 數(shù)控插齒加工的修形齒輪

　　圖7 在漸開線測量儀上測量修形

　　(2)在三坐標(biāo)測量機(jī)上測量。如圖8、圖9所示，對加工后的修形齒廓進(jìn)行坐標(biāo)測量，圖形顯示實際修形齒廓與理論修形齒廓匹配較好。對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和圖形匹配后，經(jīng)計算得齒廓誤差為17.6μm，符合精度要求。

　　圖8 實測修形齒形與理想修形齒形對比

　　圖9 齒形對比放大部分

　　實驗證明本論文提出的數(shù)字化齒面展成方法及其相應(yīng)算法應(yīng)用于數(shù)字化漸開線修形齒輪的加工是正確的和可行的。

　　5 結(jié)論

　　齒輪特別是高速重載齒輪，其輪齒修形技術(shù)應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本文根據(jù)數(shù)字化共扼曲面原理，通過主動控制插齒刀和工件間的成形切削運(yùn)動關(guān)系，來實現(xiàn)任意齒廓的修形。采用標(biāo)準(zhǔn)插齒刀在數(shù)控插齒機(jī)上就可以加工出修形齒輪，與傳統(tǒng)加工修形齒輪時首先對齒輪刀具進(jìn)行修形相比，大大縮短了修形齒輪的設(shè)計周期。由于CNC系統(tǒng)控制運(yùn)動的柔性，數(shù)控插齒修形可適用于各種形狀和參數(shù)的齒廓修形，從而為修形齒輪的設(shè)計、制造及推廣提供了新的技術(shù)手段。數(shù)控插齒修形是一項新技術(shù)，它將齒輪設(shè)計與齒輪制造集成一體，為齒輪產(chǎn)品進(jìn)人計算機(jī)集成化制造創(chuàng)造了條件。