減速器是原動機(jī)和工作機(jī)之間的一個獨(dú)立閉式傳動裝置，用來降低轉(zhuǎn)速和傳遞轉(zhuǎn)矩，在工作過程中，減速器中的齒輪可能會由于機(jī)械振動而發(fā)出噪音，這樣可能會降低齒輪的嚙合精度和傳遞效率，從而影響減速器的使用壽命。

　　模態(tài)分析可以確定零件的固有頻率和振型，使設(shè)計師在設(shè)計零件的時候，盡量使系統(tǒng)的工作頻率和固有頻率偏差較大，以防止共振，從而減少振動和噪音。模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為系統(tǒng)的振動特性分析、振動故障診斷和預(yù)報以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)，是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計及故障診斷的重要方法。

　　本文利用有限元軟件ABAQUS，對減速器中的齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，來確定不同階數(shù)下齒輪的固有頻率和振型，通過選擇不同的材料以及齒輪的腹板倒角，來分析齒輪固有頻率的變化趨勢，從而為齒輪大的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考依據(jù)，避免齒輪在工作時候發(fā)生共振，從而減少噪音。

　　一、有限元模態(tài)分析理論

　　對于一般的多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，運(yùn)動都可以由其自由振動的模態(tài)來合成。有限元的模態(tài)分析就是建立模態(tài)模型進(jìn)行數(shù)值分析的過程。由于結(jié)構(gòu)的阻尼對其模態(tài)頻率及振型的影響很小，所以模態(tài)分析的實(shí)質(zhì)就是求解具有限個自由度的無阻尼及無載荷狀態(tài)下得運(yùn)動方程的模態(tài)適量。系統(tǒng)的無阻尼多自由度的自由振動系統(tǒng)方程為：

　　式中質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]均為nxn階方陣，位移列陣{x}為nx1階列陣。把(1)式寫成位移向量的形式為：

　　應(yīng)用線性變換式{x}=[u]{y}，可以對集合位置坐標(biāo){x}表示的耦合系統(tǒng)微分方程組解耦。因此，振型在坐標(biāo)變換和解耦系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的作用。為了得到振型的矩陣[u]，必須求得系統(tǒng)的特征值和特征向量，即系統(tǒng)的固有頻率和振型向量。為此，假定系統(tǒng)的振動是由頻率的簡諧振動組成，設(shè){X}為{x}的位移幅值和振幅列陣或振幅向量，Φ為初相位，則系統(tǒng)運(yùn)動方程是的形式為：

　　對其求導(dǎo)得：

　　把(4)式代入(1)式，消去因子，整理的系統(tǒng)的特征矩陣方程為：

　　為滿足上面的矩陣方程，必須使括號中的矩陣行列式等于零，這就是特征方程式即(6)式

　　從特征方程杰出特征值，特征值的平方根就是系統(tǒng)的固有頻率。將系統(tǒng)的固有頻率代入(5)式，所求的幅值矩陣{X}即為振興向量{u}。

　　二、建立有限元模型

　　1.齒輪建模

　　根據(jù)減速器的輸出功率要求，得齒輪的參數(shù)為：齒數(shù)z=26，模數(shù)m=3，齒形角a=20°，齒厚d =20，齒輪的其他參數(shù)通過計算和工具書獲得，利用軟件Pro/ENGINEER建模，并把齒輪模型導(dǎo)入到ABAQUS中，進(jìn)行模態(tài)分析。

　　2.齒輪邊界約束

　　對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析的主要目的是獲得齒輪不同階下的固有頻率和振型，因而不需要對齒輪進(jìn)行加載，只需要對其自由度進(jìn)行約束，根據(jù)齒輪的工作條件，對齒輪進(jìn)行約束，選取齒輪的內(nèi)表面作為約束對象，對齒輪的內(nèi)圓柱面和鍵槽面x，y和z方向的平動位移進(jìn)行約束，由于模態(tài)分析低階頻率對于動的影響遠(yuǎn)大于高階頻率，故取齒輪模態(tài)分析前6階的固有頻率和振型。

　　3.齒輪網(wǎng)格劃分

　　對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最大整體尺寸為2，幾何次數(shù)選擇線性攝動，選取單元類型為四面體單元C3D4。

　　三、有限元結(jié)果分析

　　1.材料的影響

　　選擇不同的材料，進(jìn)而材料的彈性模量和泊松比及密度不同，本文中選擇的材料分別為：灰口鑄鐵、球墨鑄鐵、鑄鋼、碳鋼和合金鋼，材料的彈性模量依次逐漸變大。通過仿真結(jié)果查看不同材料對于齒輪固有頻率的影響，因?yàn)榈碗A頻率對于結(jié)構(gòu)的振動影響較大，所以僅取了仿真結(jié)果的前6階模態(tài)分析結(jié)果，圖2是齒輪的振型圖以及最大位移振動變化，由于不同材料的振型圖較多，故只選取材料為合金鋼的齒輪的2、4和6階振型圖作為示意。

　　利用振型圖可以很直觀地分析齒輪的振動形態(tài)，并發(fā)現(xiàn)齒輪振動的薄弱環(huán)節(jié)，進(jìn)而可以對齒輪進(jìn)行優(yōu)化，從而避免齒輪發(fā)生共振，減少齒輪工作時的噪音。在低階情況下，通過分析不同材料齒輪的前6階振型圖，可以發(fā)現(xiàn)齒輪的振型主要為扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動，齒輪的階數(shù)越高，則振動的位移越大，齒輪振動越劇烈，噪音越大。表1是不同材料的齒輪在不同階下的固有頻率，并將數(shù)據(jù)繪制成曲線圖，如圖3所示。

　　曲線圖3表明：在階數(shù)相同的情況下，齒輪的固有頻率和材料是存在一定關(guān)系，材料的彈性模量越大，則在該階下材料的固有頻率越大，所以在同階數(shù)的工作頻率下，齒輪發(fā)生共振的概率越小，從而減小齒輪振動的噪音，增大了傳遞的效率，延長了齒輪的使用壽命，為齒輪的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計提供可靠理論基礎(chǔ)。

　　2.結(jié)構(gòu)的影響

　　下面來研究結(jié)構(gòu)對于齒輪固有頻率的影響：齒輪的材料為合金鋼，結(jié)構(gòu)的改變主要是通過對齒輪的腹板進(jìn)行倒角，通過倒角大小的不同來分析齒輪固有頻率的變化規(guī)律。該仿真中腹板倒角的范圍為C1~C5，由于振型圖較多，下圖4是選取齒輪的倒角C5時的2、4和6階振型圖作為示意，通過振型圖可以看出齒輪的振型主要是扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動，振型圖反映了齒輪的振動特性和薄弱環(huán)節(jié)，可以為設(shè)計者提供參考依據(jù)。

　　改變齒輪腹板結(jié)構(gòu)，通過改變齒輪模型的倒角大小，來查看不同的齒輪結(jié)構(gòu)對于齒輪的固有頻率的影響，在齒輪鑄造時候，可以作為腹板倒角的參考依據(jù)，選擇合理的倒角大小，進(jìn)一步減輕齒輪的振動，減少齒輪振動時候的噪音，也可以作為齒輪優(yōu)化的參考依據(jù)。

　　從曲線圖5表明：在階數(shù)相同的情況下，齒輪腹板的倒角越大，則齒輪的固有頻率越大。隨著階數(shù)的增加，齒輪的固有頻率會呈現(xiàn)遞增的趨勢，這一結(jié)論特點(diǎn)可以作為齒輪參數(shù)優(yōu)化的依據(jù)。在進(jìn)行齒輪腹板倒角的時候，可以適當(dāng)選擇倒角大小，避免齒輪發(fā)生共振，從而減少振動的噪音，提高齒輪的傳遞效率。

　　上述曲線和圖形表明：

　　(1)齒輪的固有頻率與齒輪的材料有關(guān)，在相同階數(shù)的情況下，齒輪材料的彈性模量越大，則齒輪的固有頻率越大;

　　(2)齒輪的固有頻率和齒輪的結(jié)構(gòu)有關(guān)，在相同階數(shù)的情況下，齒輪的腹板倒角越大，則齒輪的固有頻率越大;

　　(3)齒輪的低階振型主要為扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動，階數(shù)越高，振動位移越大，振型圖可以看出齒輪的薄弱環(huán)節(jié)，從而可以進(jìn)行齒輪優(yōu)化，為設(shè)計者提供參考依據(jù)。

　　四、結(jié)束語

　　模態(tài)分析可以用來確定齒輪的固有頻率和振型，從而為齒輪設(shè)計和深入研究提供可靠的理論依據(jù)，通過振型圖可以直觀地發(fā)現(xiàn)齒輪振動的薄弱環(huán)節(jié)，從而為齒輪的設(shè)計和維護(hù)提供可靠地依據(jù)。

　　通過ABAQUS進(jìn)行模態(tài)仿真分析，既可以為齒輪設(shè)計者提供可靠的、有意義的參考依據(jù)，也可以對齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高齒輪在傳遞過程中的精度和傳遞效率。