基于灰數（GM）模型的灰色預測方法預測刀具耐用度
時間:2011-07-23 09:16:11 來源:未知
1 引言
為了準確評價金屬材料的可加工性或刀具材料的切削性能，通常需要進行刀具磨損試驗，即在常用切削速度范圍內選取不同切削速度進行切削試驗，得到一組刀具磨損v-T曲線，并根據給定的磨鈍標準繪制出刀具耐用度曲線。這種基于切削試驗的刀具耐用度評價方法成本較高（尤其對于貴重材料），費時費力，且在有些情況下難以實現。為此，眾多研究人員對各種刀具耐用度快速試驗方法（如端面車削試驗法、圓錐車削試驗法、不斷加速法、放射性同位素法等）進行了大量試驗研究，但這些試驗方法均存在不同的局限性。近年來也有研究者采用線性回歸法預測刀具耐用度，但要獲得較理想的預測結果，在刀具正常磨損階段至少需要選取8～10個測點且要求該階段具有較好線性。
基于灰數模型（GM模型）的預測方法自20世紀80年代初期灰色理論創建以來，已在許多領域得到成功應用。在灰色模型的建模過程中，灰色理論可充分開發并利用少量數據中的顯信息和隱信息，根據行為特征數據找出因素本身或因素之間的數學關系，提取建模所需變量，通過建立離散數據的微分方程動態模型，了解系統的動態行為和發展趨勢。該方法具有以下特點：①所需信息量較少（通常只要有4個以上數據即可建模）；②不需已知原始數據分布的先驗特征，通過有限次的生成，可將無規則分布（或服從任意分布）的任意光滑離散的原始序列轉化為有序序列。③建模精度較高，可保持原系統特征，能較好反映系統實際情況。
本文采用GM模型，在易切鋼材料的切削性能試驗中，對給定磨鈍標準下的刀具耐用度進行了預測，取得了令人滿意的效果。
2 刀具耐用度預測的灰色建模方法
由單變量一階微分方程構成的GM（1，1）灰色模型是灰色理論中較常用的預測模型。基于該模型的刀具耐用度預測建模方法如下：首先按通常的刀具磨損試驗方法進行切削試驗，每切削一段時間即觀測一次刀具后刀面磨損值VB，當刀具進入正常磨損階段后，即可根據記錄數據和預先設定的刀具磨鈍標準對刀具耐用度進行預測。設觀測的原始序列為
X（0）={X（0）（VBi）|i=1，2，…，n}
（1）
式中，X（VBi）為切削時間，VBi為與該時刻對應的刀具后刀面磨損值。
基于灰色理論的預測通常要求原始數據是等時空距的，但在本文涉及問題中，切削時間與刀具后刀面磨損值的關系數據在一般情況下難以滿足這一要求。因此還需將后刀面磨損值VB變換為從1開始、以1遞增、帶有一位整數的序列，變換公式為
Pi=
VBi-VB1
c+1（i=1，2，…，n）
VB2-VB1
（2）
式中，c為調整系數，可根據實際情況取值，取值范圍為0利用插值法計算出小于Pi且最接近Pi正整數點處的切削時間。設ip為小于Pi且最接近Pi的正整數，求ip點處切削時間的內插公式為
X（0）（ip）=X（0）（Pi-1）+
iP-Pi-1
[X（0）（Pi）-X（0）（Pi-1）]
Pi-Pi-1
（3）
為弱化原序列的隨機性，將無規序列變為有規序列，通常需對其數列進行一次累加數據處理，對X#p#分頁標題#e#（0）（ip）作一次累加處理的表達式為
X（1）（ip）=
ip∑:k=1
X（0）（k）（ip=1，2，…，n）
（4）
對X（0）（Pi）作一次累加處理的表達式為
X（1）（Pi）=X（1）（ip）+（Pii-ip）X（0）（Pi）
（5）
經過以上處理后，一般可使粗糙的原始數據離散數列變為光滑的離散數列。在滿足光滑性條件后，即可建立基本預測模型GM（1，1），其表達式為
^X
（1）（t+1）=[X（0）（P1）-
u
]e-at+
u
a
a
（6）
式中，a、u為待辯識參數，可根據最小二乘法通過矩陣運算求得（表達式略）。
對建立的GM（1，1）預測模型進行精度檢驗和評估，如模型精度不符合要求，可利用殘差序列建立GM（1，1）模型對原模型進行修正，以提高其精度。GM（1，1）模型滿足精度要求時，其還原數據與預測值計算公式為
^X
（0）（t+1）=[u-aX（0）（P1）]e-at（t=2，3，…，n）
（7）
預測切削時間時，取t=n+1，與之對應的Pn+1=Pn+1，由式（7）即可求出Pn+1值。由式（2）求出的VBn+1值即為與預測切削時間^ X（0）（t+1）對應的后刀面磨損量。
需要說明，為進一步提高預測精度，本文采用了等維灰數遞補GM（1，1）模型，即首先采用已知數列建立一個GM（1，1）模型，按前述方法求出一個預測值，然后將該預測值補入已知數列中，為使序列等維，需同時去除一個最舊的數據；然后在此基礎上再建立GM（1，1）模型，求出下一個預測值，并將其補入數列中，同時去除一個最舊的數據……，以此類推，通過預測灰數的新陳代謝，逐個預測，依次遞補，直至預測值達到給定的磨鈍標準為止。
3 預測實例與效果分析
利用上述灰色預測方法對切削兩種牌號（Y15、Y15b）易切鋼的刀具耐用度進行預測。為便于對比，通過四組切削試驗獲得了切削全程的刀具磨損曲線。切削試驗條件為：第一組：干切削Y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第二組：干切削Y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第三組：干切削Y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min；干切削Y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min。刀片材料均為W18Cr4V，硬度HRC64.5～65.3，磨鈍標準VB=0.3mm。
表 試驗數據原始序列
| 第一組 |
VB值 |
0.064
0.08
0.097
0.12
#p#分頁標題#e#切削時間t |
4.3
5.7
7.6
10.7
第二組 |
VB值 |
0.04
0.065
0.087
0.1
切削時間t |
4
8.5
12.5
16
第三組 |
VB值 |
0.105
0.12
0.142
0.153
切削時間t |
24
34
50
63
第四組 |
VB值 |
0.042
0.062
0.086
0.11
切削時間t |
14.6
26
42.3
60
在刀具進入正常磨損階段后，僅取4個數據作為原始序列進行預測，直至達到給定的磨鈍標準為止。試驗數據的原始序列見右表。
刀具磨損實測曲線與刀具磨損預測曲線。
對比曲線可知：第一、第三組試驗（切削Y15易切鋼）的刀具耐用度預測結果較準確。第一組試驗的刀具耐用度預測誤差e=2.42min（絕對值，下同），相對誤差e＇=8.5%；第三組試驗的刀具耐用度預測誤差e=5.27min，相對誤差e＇=2.9%。第二、第四組試驗（切削Y15b易切鋼）的刀具耐用度預測誤差較大。第二組試驗的刀具耐用度預測誤差e=14.98min，相對誤差e＇=29.25%；第四組試驗的刀具耐用度預測誤差e=36min，相對誤差e＇=18%。從實測曲線看，第二、第四組試驗給定的磨鈍標準明顯偏大，刀具磨損量達到該值前已進入急劇磨損階段。對于磨損曲線的這種變化，僅根據有限的已知數據顯然很難預測。對一個系統進行預測時，隨著時空的推移，一些不確定的擾動因素將進入系統而對系統產生影響，因此預測模型不可能一直處于理想狀態。雖然采用等維灰數遞補等方法可進一步提高預測精度，但預測的未來時刻越遠，預測值灰區間就越大（當曲線發生急劇變化時尤其如此）。由圖1可見，將刀具磨鈍標準設定在VB=0.26mm左右較為合理，此時第二組試驗的刀具耐用度預測誤差e=9.2min，相對誤差e＇=19.87%；第四組試驗的刀具耐用度預測誤差e=2.23min，相對誤差e＇=1.22%。雖然第二組預測值誤差稍大，但仍在可接受范圍內，按照目前的預測精度級別劃分，仍屬好的預測。
由以上預測實例結果可知，在允許誤差范圍內，采用灰色模型預測刀具耐用度效果不錯。與完全基于切削試驗的預測方法相比，可節省切削時間1～2倍，同時可節省大量切削試驗材料，因此在工程上具有實際應用價值。
4 結論
- 用灰色模型預測刀具耐用度的預測精度較高，可較真實地反映刀具磨損實際情況及發展趨勢，與常規預測方法相比，可縮短試驗時間、節約試驗材料、提高試驗效率，在工程上具有實用價值。
- 采用灰色模型預測刀具耐用度時，只需在刀具進入正常磨損階段時提取4～5個測點數據即可，原始數據需求量少，建模簡便易行。
- 當預測的刀具磨損曲線在正常磨損階段范圍內時，預測結果較準確，預測值相對誤差（絕對值）最大不超過20%，屬于好的預測。