1. 磨削力與殘余應力關系的數學模型
   首先依據圖1所示的模型來分析殘余應力與塑性變形之間的關系。圖1a為自由狀態下的兩個彈簧，圖1b為兩個彈簧被放入剛性板之間的狀態。根據平衡條件可得出 N=k₁k₂(l₁-l₂)/(k₁+k₂)式中：N——兩個彈簧被放入剛性板后彈簧的內力
   l₁、l₂——兩個彈簧在自由狀態下的長度
   k₁、k₂——兩個彈簧的彈性系數
   l₁-l₂可看作是本文意義上的塑性變形。從上式中可得出，內力與塑性變形呈正比，即殘余應力與塑性變形呈正比。

   
   圖1 殘余應力與塑性變形關系模型

   
   圖2 應力s與應變關系簡化模型

   
   圖3

   #p#分頁標題#e#
   圖2為應力s與應變e關系的簡化模型。從圖中可知 e_B=(s_B-s_S)/E₁+e_S&bnsp;&bnsp;&bnsp;&bnsp;&bnsp;e＇_A=e_B/E式中：s_S——材料的屈服限
   s_B——某一磨削條件下的應力
   E——材料的彈性模量
   E₁——常數
   根據圖2可得出，當外力釋放后，B點處應變e_B沿斜率OA釋放后殘留為e_p e_p=e_B-e＇_A=(s_B-s_S)/E+e_S+s_B/E上式說明，塑性變形與力呈線性關系。
   綜合上述分析可以認可，殘余應力與磨削力呈線性關系，兩者關系可表示為 s_F=AF+D₁(1)式中：A、D₁——系數
   F——磨削力(可采用切向力)
2. 磨削溫度與殘余應力關系的數學模型
   由熱應力產生的殘余應力可用圖3來進行分析。當磨削區溫度升高時，表面層受熱膨脹產生壓縮應力s，該應力隨溫度升高而線性增大，其值大致為 s=a′EDq式中：a′——線膨脹系數
   E——材料的彈性模量
   Dq——溫升
   當磨削溫度繼續升高至q_A時，熱應力達到材料的屈服限，如溫度再升高(q_A→q_B),表面層將產生塑性變形，熱應力值將停留在材料不同溫度時的屈服限處。磨削完畢，表面層溫度下降，熱應力按原斜率s_B下降(沿BC曲線)，直到與基體溫度一致，這時表面產生殘余拉應力。其值為 s_q=s_D-s_B    s_D=a′Eq_B
   如果認為s_B與溫度呈線性關系，那么，可得到磨削溫度與殘余應力關系的數學模型為 s_q=a′Eq_B-B₀q_B+D₂=Bq+D₂(2)式中 B₀、B、D₂——系數
   q——磨削區最高溫度
3. 磨削液冷卻性能與磨削表面殘余應力關系的數學模型
   磨削區溫度越高、磨削液冷卻系數越大時，下層表面層的溫差越大，對熱應力造成的殘余應力降低的也越多。磨削液冷卻性能對表面殘余應力的影響與表面溫度有關，因此，將磨削液與磨削表面殘余應力關系的數學模型表示為 #p#分頁標題#e#s_L=Cqa+D₃式中 C、D₃——系數
   a——磨削液冷卻系數
   綜合式(1)、(2)、(3)可得出磨削過程與磨削表面殘余應力關系的數學模型如下 s_RT=AF+Bq+Cqa+D式中 A、B、C、D——反映磨削力、磨削溫度、磨削液冷卻性能影響磨削表面殘余應力的系數

3 數學模型的回歸計算及分析

1. 數學模型的回歸計算