產(chǎn)品設(shè)計人員的工作就是，利用各種技術(shù)在計算機上勾勒出漂亮的外形，進(jìn)而設(shè)計出魅力十足、激發(fā)美感的產(chǎn)品造型。不過，他們所使用的軟件工具會用到一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，因此，要在計算機上創(chuàng)建出可以吸引眼球的幾何外觀，用戶需要具備相當(dāng)級別的專業(yè)知識才能達(dá)到所期望的效果。
   
    對于任何設(shè)計造型而言，影響其“美觀”程度的最重要的方面就是它的表面：幾何形狀表面的光滑度、線條和反射度以及不同表面的連接方式，都會影響到可產(chǎn)生美感的物體外觀的藝術(shù)水準(zhǔn)。不過，那些 CAD 和建模軟件包總是會提到一些數(shù)學(xué)方面的專業(yè)術(shù)語，這就需要那些習(xí)慣藝術(shù)語言的專業(yè)設(shè)計人員要領(lǐng)會工具背后的數(shù)學(xué)原理，而不是奢望自己能夠以藝術(shù)家的方式來指示軟件如何工作。這就是為什么說，掌握與 CAD 軟件操作有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和常用術(shù)語，可以提高產(chǎn)品設(shè)計人員將大腦靈感轉(zhuǎn)換為屏幕上完美設(shè)計創(chuàng)意的能力。
   
    創(chuàng)建“美觀”的表面造型需要用到曲線。還記得微積分嗎？您可能想起來了，沿曲線在各點處求導(dǎo)可以獲得反映曲線形狀的許多信息。這類導(dǎo)數(shù)屬性通常稱為連續(xù)性。曲線的一階導(dǎo)數(shù)與曲線的切線有關(guān)。切線就是沿曲線繪制的直線。它可以反映出曲線在該點處的方向。一階導(dǎo)數(shù)十分有用，它可以告訴您曲線是否水平，或者告訴您曲線在特定點位置是否與其他曲線的方向一致。沿曲線移動時，如果切線方向不斷擺動，則說明該曲線為波浪線。
    

    圖 1：曲線的切線和波浪線（切線上下擺動）

    二階導(dǎo)數(shù)也很有用，它可以給出特定點處的曲率。這對于準(zhǔn)確了解曲線的形狀很有幫助。如果曲率由正值變?yōu)樨?fù)值（由凹變凸），就說明存在一個彎曲。"S" 字母的中間部分就是一個彎曲的例子，在該字母中間位置，曲率由一個方向變?yōu)榱硪粋€方向。圖 2 顯示了從曲線發(fā)出的代表曲線曲率的射線。射線越長，曲率越高。通過這個圖示，可以很容易識別出曲線的拐點。 曲率、光滑度和彎曲是確定物體表面是否具有藝術(shù)美感的關(guān)鍵因素，因為這些因素對于物體表面如何將光線反射到人眼都有影響。
    

    圖 2：彎曲的曲線
   

    三階導(dǎo)數(shù)描述曲率沿曲線變化的加速度或速率。即使像二階或三階導(dǎo)數(shù)變化的平滑度這樣細(xì)微的屬性都可能會影響到曲線的線條和整體美感。圖 3a 顯示了具有非連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的曲線的曲率迅速變化的一個例子，圖 3b 顯示了一個具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的曲線曲率的平滑變化。從設(shè)計的角度來看，更需要這種平滑的變化。例如，大部分汽車公司在設(shè)計車身時都會避免曲率突變的情況，雖然這種變化似乎微不足道，但通常都會影響到美觀性。 
     

    圖 3a
    非連續(xù)二階導(dǎo)數(shù) 
   
    圖 3b
    連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)

    
    同樣，這些概念也適用于曲面。曲面的整體形狀對于藝術(shù)設(shè)計來說是最為重要的方面。曲面形狀不僅由尺寸和位置決定，而且還受曲面線條、曲率變化率，曲面之間的連接方式等因素的影響。想象一個四方平面，從平面的一邊到另一邊畫幾條線，使平面看上去類似于井字棋游戲。跨越平面的這些線稱為等參曲線，也就是連接平面相對的兩個邊上的對應(yīng)點的曲線。 

   
    圖 4：等參曲線

    可以有多種確定曲面形狀特性的方式，但最簡單的方法就是沿等參曲線來研究曲面。通過確定等參曲線上各點的導(dǎo)數(shù)，可以對曲面及其美觀度有一個相當(dāng)程度的了解。例如，一階導(dǎo)數(shù)可以告訴您任意點處的切線方向。想象在曲面上放一把尺子，使其與某個等參曲線平行。尺子就會指示出它與曲面接觸點處曲面切線的方向。這個信息可以幫助確定曲面在該點處是否水平。
   
    二階導(dǎo)數(shù)也會經(jīng)常用到，因為它可以說明特定點處相對于等參曲線方向的曲率大小。通過沿曲面確定二階導(dǎo)數(shù)，可以了解曲面上哪些部分平坦，哪些部分彎曲。在沿曲面移動時，如果二階導(dǎo)數(shù)的值由正變負(fù)或者由負(fù)變正，則說明這一部分存在彎曲，即曲面在這里由凹變凸或者由凸變凹。 
   

    圖 5：彎曲的曲面

    曲率和彎曲對于曲面的反光效果和設(shè)計方案的整體美感都有很大的影響。還以汽車行業(yè)為例，為了達(dá)到所需的美觀效果，汽車工程師需要花費大量的精力來研究車體的曲率和彎曲。研究二階導(dǎo)數(shù)的變化也非常重要，通過計算三階導(dǎo)數(shù)，可以確定曲率沿曲面的變化速度。人眼會覺察到曲面上存在的非平滑曲率變化，而且能夠感覺到這樣的變化通常會使曲面缺乏美感。圖 6a 顯示了曲率平滑變化的曲面。圖 6b 顯示了曲率非平滑變化的曲面。請注意二者在光線反射效果方面的細(xì)微差異。曲率的非平滑變化 (6b) 會沿曲面產(chǎn)生一條比較生硬的反射線。
    

    圖 6：曲率平滑變化的曲面與非平滑變化的曲面
      
    6a  曲率平滑變化的曲面
   
    6b 曲率非平滑變化的曲面

    
    另一個重要的設(shè)計因素就是曲面之間在公共邊處的連接方式。一個可幫助檢查曲面連接方式的方法就是使用曲面法線，它是由曲面上的點發(fā)出的垂直但遠(yuǎn)離曲面的矢量。通過比較公共邊上各點的曲面法線，可以評測出兩個曲面之間的連接是否完美。
   
    拿一個盒子為例，如果各面之間以折角形式相接，數(shù)學(xué)上將其稱為 G0。通過平緣或者圓邊相連的曲面稱為 G1，因為沿每個曲面公共邊的曲面法線是平行的。這些曲面相切。相切的曲面會產(chǎn)生非常美觀的造型，比如那些鑄件和澆鑄出來的產(chǎn)品的表面。不過，人眼可以輕易識別出非平滑的曲率變化，因此，設(shè)計人員比較喜歡那種融合在一起的曲面，這樣曲面的不僅在公共邊上相切，而且它們的曲率也相同。數(shù)學(xué)上將其稱為 G2，而那些公共邊在更高階導(dǎo)數(shù)上匹配的曲面連接方式更是廣泛應(yīng)用于汽車和產(chǎn)品設(shè)計領(lǐng)域，這種連接使得曲面造型連續(xù)、平滑、流暢，令人賞心悅目。圖 7 顯示了不同級別的連接平滑程度的曲面連接示例。

    
    圖 7 小塊曲面 

    G0-折角連接
   
    G1-相切連接
   
    G2-相同曲率連接

    
    在了解有關(guān)曲面的設(shè)計時，可能會遇到 C0、C1 和 C2 這樣的術(shù)語。Cn 和 Gn 之間的差異既簡單又微妙。如果兩條曲線以 G1 方式連接，它們的切向量在連接處平行。如果它們的連接方式是 C1，則其切向量不僅平行，而且量值也相同。獲得G1 的效果要比 C1 稍微容易一些。在單個曲面片內(nèi)產(chǎn)生 Cn 曲面效果很容易達(dá)到，但在多個曲面片之間的 C1 和更高程度的連接（多個曲面通過一個邊界連接）則要困難一些，需要在曲面內(nèi)部和邊界處頗費一些功夫。有關(guān)連接方面的詳細(xì)說明，請訪問 http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS。
   
    人眼對物體的反光方式通常十分敏感。設(shè)計完美的造型看上去就是舒服，而曲線和曲面連接上存在問題的物體外觀顯得就是別扭。要找到問題的源頭不太容易，但也有辦法。有一些工具可以顯示出這些細(xì)微問題的視覺效果。一個很實用的方法就是通過映射的方式讓顏色來反映曲面的曲率。這種方法會顯示出曲率的高低以及如何變化。圖 8 顯示了經(jīng)曲率映射處理的曲面。
   

    圖 8 曲率映射

    
    在圖 8a 中，一條清晰的直線標(biāo)明了曲面從某個曲率（藍(lán)色）變化為更高曲率（綠色）的位置。在圖 8b 中，映射圖顯示了曲面從較低的曲率過度到具有較高曲率的彎曲弧頂?shù)倪^程。另一種分析工具稱為斑馬條紋，它能夠以夸張的方式顯示曲面如何反射光線。
   

    圖 9 斑馬條紋

    
    專業(yè)設(shè)計人員花費許多時間和精力來使反射光線產(chǎn)生美觀的效果，目的就是使最終產(chǎn)品在消費者看來賞心悅目。了解這些數(shù)學(xué)概念及其在 CAD 軟件中的應(yīng)用，可以幫助設(shè)計人員掌握如何設(shè)計出好看產(chǎn)品的技術(shù)。所以，下次在看到流光溢彩的漂亮車身時，您就會想到這是設(shè)計人員對每一條曲線和曲面精心設(shè)計和分析的結(jié)果，不僅要考慮整個外形，而且要琢磨車身如何反射來自不同角度的各種光線。有了一雙發(fā)現(xiàn)美麗的眼睛，再加上對 CAD 軟件幕后數(shù)學(xué)原理的基本了解，設(shè)計人員就可以創(chuàng)造出完美的產(chǎn)品造型，它的魅力可能難以言表，但卻能產(chǎn)生美感，令人無法拒絕。