本文探討了solidworks產品設計中美觀背后的數學原理。

　　專業設計人員花費許多時間和精力來使反射光線產生美觀的效果，目的就是使最終產品在消費者看來賞心悅目。了解這些數學概念及其在 CAD 軟件中的應用，可以幫助設計人員掌握如何設計出好看產品的技術。所以，下次在看到流光溢彩的漂亮車身時，您就會想到這是設計人員對每一條曲線和曲面精心設計和分析的結果，不僅要考慮整個外形，而且要琢磨車身如何反射來自不同角度的各種光線。有了一雙發現美麗的眼睛，再加上對 CAD 軟件幕后數學原理的基本了解，設計人員就可以創造出完美的產品造型，它的魅力可能難以言表，但卻能產生美感，令人無法拒絕。

　　產品設計人員的工作就是，利用各種技術在計算機上勾勒出漂亮的外形，進而設計出魅力十足、激發美感的產品造型。不過，他們所使用的軟件工具會用到一些復雜的數學概念，因此，要在計算機上創建出可以吸引眼球的幾何外觀，用戶需要具備相當級別的專業知識才能達到所期望的效果。

　　對于任何設計造型而言，影響其“美觀”程度的最重要的方面就是它的表面：幾何形狀表面的光滑度、線條和反射度以及不同表面的連接方式，都會影響到可產生美感的物體外觀的藝術水準。不過，那些 CAD 和建模軟件包總是會提到一些數學方面的專業術語，這就需要那些習慣藝術語言的專業設計人員要領會工具背后的數學原理，而不是奢望自己能夠以藝術家的方式來指示軟件如何工作。這就是為什么說，掌握與 CAD 軟件操作有關的數學知識和常用術語，可以提高產品設計人員將大腦靈感轉換為屏幕上完美設計創意的能力。

　　創建“美觀”的表面造型需要用到曲線。還記得微積分嗎?您可能想起來了，沿曲線在各點處求導可以獲得反映曲線形狀的許多信息。這類導數屬性通常稱為連續性。曲線的一階導數與曲線的切線有關。切線就是沿曲線繪制的直線。它可以反映出曲線在該點處的方向。一階導數十分有用，它可以告訴您曲線是否水平，或者告訴您曲線在特定點位置是否與其他曲線的方向一致。沿曲線移動時，如果切線方向不斷擺動，則說明該曲線為波浪線。

圖 1：曲線的切線和波浪線(切線上下擺動)

　　二階導數也很有用，它可以給出特定點處的曲率。這對于準確了解曲線的形狀很有幫助。如果曲率由正值變為負值(由凹變凸)，就說明存在一個彎曲。"S" 字母的中間部分就是一個彎曲的例子，在該字母中間位置，曲率由一個方向變為另一個方向。圖 2 顯示了從曲線發出的代表曲線曲率的射線。射線越長，曲率越高。通過這個圖示，可以很容易識別出曲線的拐點。 曲率、光滑度和彎曲是確定物體表面是否具有藝術美感的關鍵因素，因為這些因素對于物體表面如何將光線反射到人眼都有影響。

圖 2：彎曲的曲線

　　三階導數描述曲率沿曲線變化的加速度或速率。即使像二階或三階導數變化的平滑度這樣細微的屬性都可能會影響到曲線的線條和整體美感。圖 3a 顯示了具有非連續二階導數的曲線的曲率迅速變化的一個例子，圖 3b 顯示了一個具有連續二階導數的曲線曲率的平滑變化。從設計的角度來看，更需要這種平滑的變化。例如，大部分汽車公司在設計車身時都會避免曲率突變的情況，雖然這種變化似乎微不足道，但通常都會影響到美觀性。

圖 3a

非連續二階導數

圖 3b

連續二階導數

　　同樣，這些概念也適用于曲面。曲面的整體形狀對于藝術設計來說是最為重要的方面。曲面形狀不僅由尺寸和位置決定，而且還受曲面線條、曲率變化率，曲面之間的連接方式等因素的影響。想象一個四方平面，從平面的一邊到另一邊畫幾條線，使平面看上去類似于井字棋游戲。跨越平面的這些線稱為等參曲線，也就是連接平面相對的兩個邊上的對應點的曲線。

圖 4：等參曲線

　　可以有多種確定曲面形狀特性的方式，但最簡單的方法就是沿等參曲線來研究曲面。通過確定等參曲線上各點的導數，可以對曲面及其美觀度有一個相當程度的了解。例如，一階導數可以告訴您任意點處的切線方向。想象在曲面上放一把尺子，使其與某個等參曲線平行。尺子就會指示出它與曲面接觸點處曲面切線的方向。這個信息可以幫助確定曲面在該點處是否水平。

　　二階導數也會經常用到，因為它可以說明特定點處相對于等參曲線方向的曲率大小。通過沿曲面確定二階導數，可以了解曲面上哪些部分平坦，哪些部分彎曲。在沿曲面移動時，如果二階導數的值由正變負或者由負變正，則說明這一部分存在彎曲，即曲面在這里由凹變凸或者由凸變凹。

圖 5：彎曲的曲面

　　曲率和彎曲對于曲面的反光效果和設計方案的整體美感都有很大的影響。還以汽車行業為例，為了達到所需的美觀效果，汽車工程師需要花費大量的精力來研究車體的曲率和彎曲。研究二階導數的變化也非常重要，通過計算三階導數，可以確定曲率沿曲面的變化速度。人眼會覺察到曲面上存在的非平滑曲率變化，而且能夠感覺到這樣的變化通常會使曲面缺乏美感。圖 6a 顯示了曲率平滑變化的曲面。圖 6b 顯示了曲率非平滑變化的曲面。請注意二者在光線反射效果方面的細微差異。曲率的非平滑變化 (6b) 會沿曲面產生一條比較生硬的反射線。

圖 6：曲率平滑變化的曲面與非平滑變化的曲面

6a 曲率平滑變化的曲面

6b 曲率非平滑變化的曲面

　　另一個重要的設計因素就是曲面之間在公共邊處的連接方式。一個可幫助檢查曲面連接方式的方法就是使用曲面法線，它是由曲面上的點發出的垂直但遠離曲面的矢量。通過比較公共邊上各點的曲面法線，可以評測出兩個曲面之間的連接是否完美。

　　拿一個盒子為例，如果各面之間以折角形式相接，數學上將其稱為 G0。通過平緣或者圓邊相連的曲面稱為 G1，因為沿每個曲面公共邊的曲面法線是平行的。這些曲面相切。相切的曲面會產生非常美觀的造型，比如那些鑄件和澆鑄出來的產品的表面。不過，人眼可以輕易識別出非平滑的曲率變化，因此，設計人員比較喜歡那種融合在一起的曲面，這樣曲面的不僅在公共邊上相切，而且它們的曲率也相同。數學上將其稱為 G2，而那些公共邊在更高階導數上匹配的曲面連接方式更是廣泛應用于汽車和產品設計領域，這種連接使得曲面造型連續、平滑、流暢，令人賞心悅目。圖 7 顯示了不同級別的連接平滑程度的曲面連接示例。

圖 7 小塊曲面

G0-折角連接

G1-相切連接

G2-相同曲率連接

　　在了解有關曲面的設計時，可能會遇到 C0、C1 和 C2 這樣的術語。Cn 和 Gn 之間的差異既簡單又微妙。如果兩條曲線以 G1 方式連接，它們的切向量在連接處平行。如果它們的連接方式是 C1，則其切向量不僅平行，而且量值也相同。獲得G1 的效果要比 C1 稍微容易一些。在單個曲面片內產生 Cn 曲面效果很容易達到，但在多個曲面片之間的 C1 和更高程度的連接(多個曲面通過一個邊界連接)則要困難一些，需要在曲面內部和邊界處頗費一些功夫。有關連接方面的詳細說明，請訪問 http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS。

　　人眼對物體的反光方式通常十分敏感。設計完美的造型看上去就是舒服，而曲線和曲面連接上存在問題的物體外觀顯得就是別扭。要找到問題的源頭不太容易，但也有辦法。有一些工具可以顯示出這些細微問題的視覺效果。一個很實用的方法就是通過映射的方式讓顏色來反映曲面的曲率。這種方法會顯示出曲率的高低以及如何變化。圖8 顯示了經曲率映射處理的曲面。

圖 8 曲率映射

　　在圖 8a 中，一條清晰的直線標明了曲面從某個曲率(藍色)變化為更高曲率(綠色)的位置。在圖 8b 中，映射圖顯示了曲面從較低的曲率過度到具有較高曲率的彎曲弧頂的過程。另一種分析工具稱為斑馬條紋，它能夠以夸張的方式顯示曲面如何反射光線。

圖 9 斑馬條紋

　　專業設計人員花費許多時間和精力來使反射光線產生美觀的效果，目的就是使最終產品在消費者看來賞心悅目。了解這些數學概念及其在 CAD 軟件中的應用，可以幫助設計人員掌握如何設計出好看產品的技術。所以，下次在看到流光溢彩的漂亮車身時，您就會想到這是設計人員對每一條曲線和曲面精心設計和分析的結果，不僅要考慮整個外形，而且要琢磨車身如何反射來自不同角度的各種光線。有了一雙發現美麗的眼睛，再加上對 CAD 軟件幕后數學原理的基本了解，設計人員就可以創造出完美的產品造型，它的魅力可能難以言表，但卻能產生美感，令人無法拒絕。