0 前言

　　杯形諧波減速器依靠薄壁柔輪的彈性變形來進(jìn)行傳動(dòng)，具有傳動(dòng)比大、體積小等優(yōu)點(diǎn)，在各種機(jī)器人及精密機(jī)械傳動(dòng)等方面具有廣泛的應(yīng)用，而且在宇航空間機(jī)構(gòu)中也得到越來越多的應(yīng)用。如果能夠進(jìn)一步減小諧波減速器的體積，那么宇航空間機(jī)構(gòu)中傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的體積也將減小，從而降低整個(gè)宇航空間機(jī)構(gòu)的體積和質(zhì)量。

　　為了滿足空間環(huán)境、機(jī)器人、伺服控制系統(tǒng)等對(duì)諧波減速器中柔輪軸向尺寸小的要求，日本、美國和俄羅斯等國展開了研究，并取得了相應(yīng)的成果。我國的諧波傳動(dòng)技術(shù)與國外相比還有一定的差距，特別在短杯諧波的研制和在空間機(jī)構(gòu)環(huán)境中的應(yīng)用方面差距更大，短杯柔輪的諧波減速器目前處于研發(fā)階段，未見有產(chǎn)品應(yīng)用的實(shí)例。

　　決定杯形諧波減速器壽命的核心部件是薄壁柔輪，JOHN減小杯形諧波減速器的體積也主要是通過縮短柔輪的長度來實(shí)現(xiàn)，因此，研究柔輪的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪的應(yīng)力影響規(guī)律是對(duì)柔輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和改進(jìn)的重要前提條件，同時(shí)也是綜合分析柔輪應(yīng)力的基礎(chǔ);在不同的溫度下分析柔輪的熱和結(jié)構(gòu)耦合應(yīng)力，確定諧波傳動(dòng)能夠承受的環(huán)境溫度，可為杯形諧波傳動(dòng)應(yīng)用于宇航空間機(jī)構(gòu)提供依據(jù)。

　　預(yù)期通過基于ANSYS的杯形柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力的敏感度分析，確定短杯柔輪各主要的參數(shù)的取值范圍，然后利用優(yōu)化設(shè)計(jì)得到短杯柔輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)，按照該參數(shù)加工出一套短杯諧波減速器，對(duì)其性能進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試，并將試驗(yàn)結(jié)果與正常杯形的諧波減速器進(jìn)行比較，期望得到町用于實(shí)際工況的短杯諧波減速器。因此，分析柔輪關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力的影響以及熱與結(jié)構(gòu)耦合情況下柔輪的接觸應(yīng)力分析具有重要意義。

　　1 柔輪與波發(fā)生器參數(shù)化等效接觸模型

　　1.1參數(shù)化等效接觸模型的開發(fā)

　　如果對(duì)不同型號(hào)的柔輪與波發(fā)生器進(jìn)行有限元接觸分析，以及改變?nèi)彷嗞P(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪最大等效應(yīng)力的影響分析，總共需要計(jì)算分析幾十次。如果每分析一次就建立一個(gè)新模型進(jìn)行單元類型定義、網(wǎng)格劃分、施加約束和載荷，最后進(jìn)行分析，那么分析的工作量是不可想象的。因此，有必要對(duì)柔輪和波發(fā)生器的接觸模型進(jìn)行參數(shù)化建模，并自動(dòng)完成網(wǎng)格劃分和分析。

　　如果建立的接觸模型是帶有輪齒的，那么網(wǎng)格劃分、計(jì)算的工作量也是很大的，因此，需要對(duì)柔輪的輪齒部分的壁厚進(jìn)行等效處理。對(duì)于柔輪輪齒部分壁厚的等效處理方法是，采用將輪齒部分簡(jiǎn)化為具有一定厚度的光滑圓環(huán)來代替輪齒部分的壁厚。齒圈壁厚處的抗彎剛度約為齒根處光滑環(huán)處的1.67倍。因?yàn)辇X圈壁厚處的抗彎剛度與壁厚的三次方成正比，所以，可以對(duì)齒圈壁厚進(jìn)行等效，等效后的齒圈壁厚應(yīng)為齒根處光滑環(huán)壁厚的倍。柔輪在靜載時(shí)屬于空間對(duì)稱和載荷對(duì)稱情況，所以可以針對(duì)柔輪的四分之一模型進(jìn)行分析，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。

　　等效處理后，柔輪所受的最大應(yīng)力稱為柔輪最大等效應(yīng)力，柔輪光滑圓筒所受最大應(yīng)力稱為柔輪光滑圓筒部分最大等效應(yīng)力。

　　進(jìn)行有限元建模時(shí)，采用自底向頂?shù)慕７绞剑@種方法是指創(chuàng)建模型時(shí)首先通過最低級(jí)圖元關(guān)鍵點(diǎn)來創(chuàng)建高級(jí)圖元線，再由線創(chuàng)建面，由面創(chuàng)建體的一種建模方法，這種方法的最大好處就是模型比較容易實(shí)現(xiàn)參數(shù)化。通過這種建模方法實(shí)現(xiàn)了四分之一柔輪和波發(fā)生器等效接觸模型的參數(shù)化，并使用ANSYS的APDL語言編寫了柔輪與波發(fā)生器參數(shù)化等效接觸模型的程序。

　　為提高計(jì)算速度，在建立ANSYS的柔輪與橢圓凸輪的接觸分析模型時(shí)，通用的做法是忽略柔性薄壁軸承的影響，將波發(fā)生器看作剛體，用一個(gè)與波發(fā)生器輪廓線和軸向長度相同的剛性柱面來代替。波發(fā)生器采用橢圓波發(fā)生器形式，屬雙波傳動(dòng)，柔輪與波發(fā)生器的接觸結(jié)構(gòu)圖如圖l所示。

　　 

　　圖1 柔輪與波發(fā)生器的接觸結(jié)構(gòu)圖

　　對(duì)四分之一柔輪與波發(fā)生器的等效接觸模型施加約束和載荷;對(duì)波發(fā)生器的內(nèi)孔和柔輪的后端圓孔施加固定約束，波發(fā)生器與柔輪的四分之一兩截面施加對(duì)稱約束。安裝波發(fā)生器與柔輪時(shí)，保證準(zhǔn)確的過盈量，波發(fā)生器的長軸為，短軸為。其中以為柔輪內(nèi)徑，為徑向變形系數(shù)，取值為l，m為柔輪模數(shù)，柔輪與波發(fā)生器的等效接觸模型如圖2所示。

　　 

　　圖2 柔輪與波發(fā)生器的等效接觸模型圖

　　考慮到柔輪和波發(fā)生器作用的復(fù)雜性，很難確認(rèn)作用時(shí)力的分布，也很難確認(rèn)柔輪內(nèi)壁位移分布，因此考慮使用接觸分析。柔輪和波發(fā)生器接觸時(shí)，將柔輪和波發(fā)生器的裝配模型視作一個(gè)“剛體一柔體”的“面一面”接觸模型。波發(fā)生器作為目標(biāo)面，單元類型選用Targel70，柔輪內(nèi)壁作為柔性接觸面，單元選用Contactl74。柔輪的最大徑向變形與柔輪壁厚比大于0.2，是一個(gè)大變形非線性問題，因此求解選項(xiàng)設(shè)置為大變形結(jié)構(gòu)分析。為了提高分析精度，防止出現(xiàn)不收斂，打開自動(dòng)載荷步選項(xiàng)，并設(shè)置載荷步為4，最大載荷步為20，最小為1。圖3為通過參數(shù)化界面輸入?yún)?shù)之后生成的32機(jī)型的柔輪與波發(fā)生器等效接觸模型的模型圖、網(wǎng)格圖、等效應(yīng)力云圖和變形云圖。

　　 

　　圖3 柔輪與波發(fā)生器的等效接觸模型圖、網(wǎng)格劃分圖、應(yīng)力云圖和變形云圖

　　1.2參數(shù)化等效接觸模型的驗(yàn)證

　　按照上述的基本參數(shù)計(jì)算完成之后，在PRO/E中建立了與圖4所示32機(jī)型諧波減速器具有相同參數(shù)、但是帶有輪齒的模型，然后導(dǎo)入ANSYS軟件中，按照前述方法進(jìn)行了單元類型和材料屬性定義、網(wǎng)格的劃分、約束載荷和接觸對(duì)的創(chuàng)建，最后進(jìn)行設(shè)置求解。分析完成的等效應(yīng)力云圖和變形云圖如圖4所示。

　　 

　　圖4 柔輪與波發(fā)生器接觸模型的應(yīng)力云圖和變形云圖

　　通過帶有輪齒的模型和等效接觸模型的分析結(jié)果可見，在沒有對(duì)輪齒進(jìn)行等效處理時(shí)柔輪的最大變形和最大等效應(yīng)力分別是0.233 666 113/11和319.241 MPa;等效接觸模型的柔輪的變形和應(yīng)力分別是0.252 757 mm和325.200 MPa。相對(duì)誤差較小，而且變形云圖和應(yīng)力云圖的分布也極其類似，從而驗(yàn)證了柔輪與橢圓波發(fā)生器參數(shù)化等效接觸模型的準(zhǔn)確性。

　　通過上述分析可以看出，柔輪的最大應(yīng)力出現(xiàn)在長軸附近齒寬中間的偏后側(cè)，并且柔輪所受的應(yīng)力趨勢(shì)呈現(xiàn)近似45°斜向擴(kuò)展。這與早期的柔輪疲勞斷裂的試驗(yàn)結(jié)論是基本一致的。

　　1.3不同型號(hào)柔輪與波發(fā)生器作用的接觸分析

　　柔輪的受力模型基于彈性薄殼理論，處在一種交變應(yīng)力狀態(tài)下，所受的應(yīng)力為周向正應(yīng)力，軸向正應(yīng)力，切應(yīng)力。軸向正應(yīng)力相對(duì)周向正應(yīng)力較小，可以忽略不計(jì)，則柔輪處在由彎矩引起的周向正應(yīng)力和切應(yīng)力的共同作用下，所以可以使用第三強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算。

　　利用第三強(qiáng)度理論和前面建立的柔輪與波發(fā)生器的等效接觸模型，對(duì)常規(guī)25～60機(jī)形的杯形柔輪(25～60型號(hào)的杯形諧波減速器，其結(jié)構(gòu)形式是一樣的，只是其結(jié)構(gòu)尺寸不同，其型號(hào)的定義主要是根據(jù)柔性軸承的外徑，即柔輪的內(nèi)徑確定的，如柔性軸承的外徑為40 mm，那么就叫做40型號(hào)杯形諧波減速器)進(jìn)行理論經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算和有限元分析，得到的理論計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果如下表所示。

　　表1 不同型號(hào)柔輪的最大應(yīng)力

　　 

　　通過對(duì)理論經(jīng)驗(yàn)公式和有限元分析計(jì)算的比較，可以看出以下幾點(diǎn)。

　　(1)有限元的分析結(jié)果高于理論經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果，這是因?yàn)槔碚摻?jīng)驗(yàn)公式做了各種假設(shè)和簡(jiǎn)化，并且使用修正系數(shù)進(jìn)行修正。數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，有限元分析結(jié)果的曲線變化規(guī)律與理論計(jì)算結(jié)果的變化規(guī)律基本一致，即有限元的分析結(jié)論可信。

　　(2)隨著杯形諧波柔輪型號(hào)的增加，柔輪所受的最大應(yīng)力逐漸降低，壽命逐漸加長，即小型號(hào)的諧波減速器的壽命相對(duì)較低。所以在選用諧波型號(hào)的時(shí)候，如果結(jié)構(gòu)尺寸允許，選擇型號(hào)相對(duì)較大的諧波減速器能保證較長的壽命。

　　2 柔輪關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力的敏感度分析

　　為進(jìn)行柔輪幾何參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，應(yīng)首先了解柔輪各個(gè)幾何參數(shù)對(duì)柔輪工作性能的影響，根據(jù)柔輪結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和參數(shù)取值范圍，選擇了對(duì)柔輪工作性能最有影響的幾個(gè)參數(shù)進(jìn)行分析，這些參數(shù)主要包括圖1所示的柔輪筒長l，、齒圈壁厚、光滑圓筒壁厚、齒寬b、柔輪圓角半徑

。本文以32機(jī)型為例使用自行編制的柔輪與波發(fā)生器等效接觸模型的參數(shù)化程序分析各個(gè)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力的敏感度。最主要的是柔輪各個(gè)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)發(fā)生在柔輪齒圈處的最大等效應(yīng)力的影響，光滑圓筒部分雖不是最大等效應(yīng)力產(chǎn)生之處，但它也是柔輪容易發(fā)生破壞之處，另外，為了進(jìn)一步與齒圈處最大等效應(yīng)力形成對(duì)比，本文也給出了光滑圓筒部分最大等效應(yīng)力隨柔輪關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線圖。

　　2.1筒長l對(duì)柔輪應(yīng)力的影響

　　筒長，是柔輪最為關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)柔輪應(yīng)力影響也較為明顯。本文確定32機(jī)型柔輪筒長的分析范圍是11～35 mm，單獨(dú)改變?nèi)彷喓?jiǎn)長，分析結(jié)果的擬和曲線如圖5所示。由圖5可見，隨著柔輪筒長的增大，柔輪的最大等效應(yīng)力呈顯著下降趨勢(shì)，柔輪筒長在11～20 mm區(qū)間內(nèi)，也就是長徑比在0.35～0.60區(qū)間，最大等效應(yīng)力急劇下降;在輪筒長為20～25 mm區(qū)間時(shí)，也就是長徑比為0.6～0.8區(qū)間，最大等效應(yīng)力下降趨勢(shì)漸緩;在大于25 mm之后，也就是長徑比大于0.8以后，最大等效應(yīng)力下降趨勢(shì)更緩，并逐漸趨近一個(gè)恒定值。還可以看出，光滑圓筒部分的最大等效應(yīng)力與齒圈部分最大等效應(yīng)力具有相似的趨勢(shì)。

　　 

　　圖5柔輪筒長對(duì)柔輪應(yīng)力影響曲線

　　2.2齒圈壁厚對(duì)柔輪應(yīng)力的影響

　　確定32機(jī)型柔輪的齒圈壁厚的分析范圍是0.25～0.70 mm，單獨(dú)改變齒圈壁厚，分析結(jié)果的擬和曲線如圖6所示。由圖6可見，柔輪齒圈壁厚增大時(shí)，柔輪最大等效應(yīng)力先減少后增大，從0.25～0.40 mm是減小趨勢(shì)，之后開始增加，但趨勢(shì)并不是很急劇。而光滑圓筒部分的最大等效應(yīng)力則幾乎成直線增加的趨勢(shì)。

　　 

　　圖6 柔輪齒圈壁厚對(duì)柔輪應(yīng)力影響曲線

　　2.3光滑圓筒壁厚6對(duì)柔輪應(yīng)力影響

　　確定32機(jī)型柔輪的光滑圓筒壁厚的分析范圍是0.1～0.4 mm，單獨(dú)改變光滑圓筒壁厚，分析結(jié)果的擬和曲線如圖7所示。

　　 

　　圖7 柔輪光滑圓筒壁厚對(duì)柔輪應(yīng)力影響曲線

　　由圖7可見，隨著光滑圓筒壁厚的增加，柔輪的最大等效應(yīng)力呈先減少后又增大的趨勢(shì)，但曲線并不是很平滑。而光滑圓筒部分的等效應(yīng)力則呈逐漸下降的趨勢(shì)，曲線比較平滑。

　　2.4齒圈寬度b對(duì)柔輪應(yīng)力的影響

　　32機(jī)型柔輪的齒寬的分析范圍確定為5～11 mm，單獨(dú)改變齒寬，分析結(jié)果的擬和曲線如圖8所示。由圖8可見，齒寬對(duì)柔輪最大等效應(yīng)力的影響是先下降后又逐漸增加趨勢(shì)，但是影響程度并不是很劇烈，而光滑圓筒部分的等效應(yīng)力則隨著齒寬的增加呈急劇下降的趨勢(shì)，到10 mm之后又有所回升，并且曲線較為平滑。這主要是因?yàn)樵谕查L不變的情況下，齒寬增大，相當(dāng)于減小光滑圓筒部分的長度，即增大了光滑圓筒部分的剛度，所以光滑圓筒部分的最大應(yīng)力隨齒寬的增大而減小。

　　2.5圓角半徑對(duì)柔輪應(yīng)力的影響

　　確定32機(jī)型柔輪的圓角半徑的分析范圍為0.25～2.50 mm，的分析范圍為0.15～3.00 mm，的分析范圍為0.15～2.50 mm。分析結(jié)果的擬合曲線如圖9所示。

　　

　　 

　　圖9圓角半徑對(duì)柔輪應(yīng)力影響曲線

　　通過比較圓角半徑對(duì)柔輪最大等效應(yīng)力和柔輪光滑圓筒部分最大等效應(yīng)力的影響，可以看出三處圓角的變化對(duì)柔輪最大等效應(yīng)力的影響不大，而三處圓角變化對(duì)光滑圓筒部分最大等效應(yīng)力的影響相對(duì)較大，對(duì)其影響趨勢(shì)是先增加后減少的趨勢(shì);對(duì)其呈遞增趨勢(shì)影響;除了不能小于0.25外，對(duì)其整體影響呈較為平滑趨勢(shì)。但對(duì)光滑圓筒部分等效應(yīng)力的影響相對(duì)于柔輪最大等效應(yīng)力來說要小很多。

　　總結(jié)32機(jī)型柔輪關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪齒圈部分和光滑圓筒部分所受的最大應(yīng)力的分析結(jié)果，可以得出以下結(jié)論。

　　(1)柔輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，柔輪的筒長對(duì)柔輪的應(yīng)力影響最為明顯，但從長徑比為0.6開始應(yīng)力的變化開始變得特別平緩。

　　(2)柔輪齒圈壁厚和柔輪的光滑圓筒壁厚對(duì)柔輪的最大應(yīng)力的影響趨勢(shì)都不具有單調(diào)性，呈現(xiàn)出先減少后增加的趨勢(shì)。

　　(3)柔輪的圓角半徑不能小于0.25，否則會(huì)造成圓筒部分的應(yīng)力集中。柔輪齒寬的變化對(duì)柔輪最大應(yīng)力和光滑圓筒最大應(yīng)力的影響呈相反趨勢(shì)。

　　(4)柔輪的筒長、齒圈壁厚、光滑圓筒壁厚、齒圈寬度對(duì)柔輪的應(yīng)力影響較為明顯，敏感度較高，而三處的圓角除不能小于0.25之外，整體來說這三個(gè)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力影響不大。

　　對(duì)25～60型號(hào)的杯形諧波減速器也按照上述過程進(jìn)行了分析，得到類似的結(jié)果。

　　3 柔輪熱與結(jié)構(gòu)耦合的有限元分析

　　當(dāng)杯形諧波減速器用于宇航空間機(jī)構(gòu)時(shí)，由于環(huán)境溫度的變化，使得諧波減速器工作在高低溫環(huán)境中。因此，對(duì)柔輪進(jìn)行不同溫度條件下的熱與結(jié)構(gòu)耦合分析，可以為柔輪在高低溫環(huán)境下的失效提供一定的依據(jù)。

　　在熱與結(jié)構(gòu)耦合的情況下對(duì)柔輪進(jìn)行有限元接觸分析涉及到柔輪與剛輪的接觸問題。由于柔輪與剛輪的齒數(shù)較多，而齒也很小，平均參與嚙合的齒數(shù)約為總齒數(shù)的30%～40%。如果每個(gè)接觸的齒都建立接觸對(duì)，那么其計(jì)算量是不可想象的。所以需要對(duì)柔輪與剛輪的接觸模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。常規(guī)齒輪的輪齒進(jìn)行接觸的時(shí)候是在節(jié)圓處進(jìn)行嚙合的。柔輪受波發(fā)生器作用后完全嚙合的輪齒應(yīng)該剛好在節(jié)圓處嚙合。所以本文把剛輪與柔輪的輪齒簡(jiǎn)化掉，柔輪與剛輪的間隙剛好是柔輪受到波發(fā)生器作用后，柔輪所伸長的最大距離。簡(jiǎn)化之后建立模型，然后分別定義柔輪、剛輪與波發(fā)生器的線膨脹系數(shù)與熱導(dǎo)率。最后施加不同的溫度載荷進(jìn)行多次接觸分析。溫度為100℃情況下32機(jī)型諧波減速器柔輪、波發(fā)生器、剛輪三大件共同作用時(shí)的應(yīng)力云圖與變形云圖如圖10所示。

　　 

　　圖10 三大件共同作用時(shí)的應(yīng)力和變形云圖

　　在溫度區(qū)間為-60～120℃情況下對(duì)32機(jī)型杯形諧波減速器的三大件進(jìn)行有限元接觸分析，分析結(jié)果如圖11所示。

　　 

　　圖11 柔輪最大應(yīng)力隨溫度的變化曲線

　　通過曲線可以看出以下幾點(diǎn)。

　　(1)當(dāng)溫度從-60～120℃變化的過程中，在溫度區(qū)間-60～0℃內(nèi)，柔輪所受的應(yīng)力基本上沒有變化：從0℃開始，隨著溫度的增加，應(yīng)力急劇增加。可以看出高溫對(duì)柔輪的應(yīng)力影響特別明顯。

　　(2)按照目前柔輪的常用材料，以合金鋼35CrMnSiA和40CrNiMoA來說，經(jīng)過熱處理以后材料的屈服強(qiáng)度能夠達(dá)到960 MPa左右，如果取安全系數(shù)為1.5，則材料的需用應(yīng)力為640 MPa，那么對(duì)于32杯形的柔輪來說，工作溫度應(yīng)該不宜超過120℃。

　　4 結(jié)論

　　(1)使用有限元軟件ANSYS的APDL語言開發(fā)了柔輪與波發(fā)生器的參數(shù)化等效接觸模型，將模型的分析值與經(jīng)驗(yàn)理論公式計(jì)算值進(jìn)行了比較，從而驗(yàn)證了柔輪與橢圓波發(fā)生器的參數(shù)化等效接觸模型的準(zhǔn)確性。利用等效模型分析了25～60機(jī)型5個(gè)不同型號(hào)的柔輪在波發(fā)生的作用下所受到的應(yīng)力，描述了柔輪的最大等效應(yīng)力隨柔輪型號(hào)的變化規(guī)律。

　　(2)以32杯形柔輪為例進(jìn)行了有限元接觸分析，分析了柔輪的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔輪應(yīng)力的影響敏感度，為柔輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的依據(jù)。

　　(3)在熱和結(jié)構(gòu)耦合的情況下對(duì)柔輪與剛輪的接觸模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，以32杯形諧波減速器為例進(jìn)行了接觸分析，給出了柔輪最大應(yīng)力隨溫度的變化曲線。為研究柔輪在高低溫環(huán)境下的失效提供了一定的依據(jù)。