1、引言

　　ANSYS程序最常見的優(yōu)化算法有零階方法，一階方法，隨機(jī)搜索法，等步長搜索法，乘子計算法和最優(yōu)梯度法。本篇僅作簡單描述，更多的細(xì)節(jié)參見ANSYS Theory Reference chapter 20。要想深刻的了解這些算法，需要具有一定數(shù)學(xué)知識，并有一定的興趣愛好才能精下心了好好的理解和學(xué)習(xí)這一部分的理論性內(nèi)容，但這也是快速提升自己水平的好途徑。

　　2、優(yōu)化算法簡介

　　2.1 零介方法

　　零階方法之所以稱為零階方法是由于它只用到因變量而不用到它的偏導(dǎo)數(shù)。在零階方法中有兩個重要的概念：

　　1)目標(biāo)函數(shù)和狀態(tài)變量的逼近方法;

　　2)由約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非約束的優(yōu)化問題。

　　逼近方法是指程序用曲線擬合來建立目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量之間的關(guān)系。這是通過用幾個設(shè)計變量序列計算目標(biāo)函數(shù)然后求得各數(shù)據(jù)點間最小平方實現(xiàn)的。該結(jié)果曲線(或平面)叫做逼近。每次優(yōu)化循環(huán)生成一個新的數(shù)據(jù)點，目標(biāo)函數(shù)就完成一次更新。實際上是逼近被求解最小值而并非目標(biāo)函數(shù)。狀態(tài)變量也是同樣處理的。每個狀態(tài)變量都生成一個逼近并在每次循環(huán)后更新。用戶可以控制優(yōu)化近似的逼近曲線。可以指定線性擬合，平方擬合或平方差擬合。缺省情況下，用平方差擬合目標(biāo)函數(shù)，用平方擬合狀態(tài)變量。用下列方法實現(xiàn)該控制功能：

　　Command: OPEQN

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　轉(zhuǎn)換為非約束問題的原因是狀態(tài)變量和設(shè)計變量的數(shù)值范圍約束了設(shè)計，優(yōu)化問題就成為約束的優(yōu)化問題。ANSYS程序?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為非約束問題，因為后者的最小化方法比前者更有效率。轉(zhuǎn)換的實現(xiàn)方法是通過對目標(biāo)函數(shù)逼近加罰函數(shù)的方法計入所加約束的。

　　收斂檢查：前面的或最佳設(shè)計是合理的而且滿足下列條件之一時，問題就是收斂的：

　　1)目標(biāo)函數(shù)值由最佳合理設(shè)計到當(dāng)前設(shè)計的變化應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　2)最后兩個設(shè)計之間的差值應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　3)從當(dāng)前設(shè)計到最佳合理設(shè)計所有設(shè)計變量的變化值應(yīng)小于各自的允差。

　　4)最后兩個設(shè)計所有設(shè)計變量的變化值應(yīng)小于各自的允差。

　　但收斂并不代表實際的最小值已經(jīng)得到了，只說明以上四個準(zhǔn)則之一滿足了。因此，用戶必須確定當(dāng)前設(shè)計優(yōu)化的結(jié)果是否足夠。如果不足的話，就要另外做附加的優(yōu)化分析。

　　對于零階方法，優(yōu)化處理器開始通過隨機(jī)搜索建立狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)的逼近。由于是隨機(jī)搜索，收斂的速度可能很慢。用戶有時可以通過給出多個合理的起始設(shè)計來加速收斂。只簡單的運(yùn)行一系列的隨機(jī)搜索并刪除所有不合理的設(shè)計。也可以運(yùn)行多次單獨的循環(huán)，并在每次運(yùn)行前指定新的設(shè)計變量序列來生成起始設(shè)計序列。

　　2.2 一階方法

　　一階方法同零階方法一樣，一階方法通過對目標(biāo)函數(shù)添加罰函數(shù)將問題轉(zhuǎn)換為非約束的。但是，與零階方法不同的是，一階方法將真實的有限元結(jié)果最小化，而不是對逼近數(shù)值進(jìn)行操作。

　　一階方法使用因變量對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)。在每次迭代中，梯度計算(用最大斜度法或共軛方向法)確定搜索方向，并用線搜索法對非約束問題進(jìn)行最小化。因此，每次迭代都有一系列的子迭代(其中包括搜索方向和梯度計算)組成。這就使得一次優(yōu)化迭代有多次分析循環(huán)。

　　OPFRST命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)有兩個輸入域可以用來改善一階方法的收斂。用戶可以指定計算梯度的設(shè)計變量范圍變化程度，也可以指定線搜索步長的范圍。一般來說，這兩個輸入值的缺省數(shù)值就足夠了。見ANSYS Theory Reference。

　　一階方法在收斂或中斷時結(jié)束。當(dāng)當(dāng)前的設(shè)計序列相對于前面的和最佳序列滿足下面任意一種情況時，問題就稱為收斂：

　　1)目標(biāo)函數(shù)值由最佳合理設(shè)計到當(dāng)前設(shè)計的變化應(yīng)小于目標(biāo)函數(shù)允差。

　　2)從當(dāng)前設(shè)計到前面設(shè)計目標(biāo)函數(shù)的變化值應(yīng)小于允差。

　　3)同時要求最后的迭代使用最大斜度搜索，否則要進(jìn)行附加的迭代。

　　與零階方法相比，一階方法計算量大且結(jié)果精確。但是，精確度高并不能保證最佳求解。一階方法可能在不合理的設(shè)計序列上收斂。這時可能是找到了一個局部最小值，或是不存在合理設(shè)計空間。如果出現(xiàn)這種情況，可以使用零階方法，因其可以更好的研究整個設(shè)計空間。也可以先運(yùn)行隨機(jī)搜索確定合理設(shè)計空間(如果存在的話)，然后以合理設(shè)計序列為起點重新運(yùn)行一階方法。一階方法更容易獲得局部最小值。(見后面“局部和全局最小值”的說明。)這是因為一階方法從設(shè)計空間的一個序列開始計算求解，如果起點很接近局部最小值的話，就會選擇該最小值而找不到全局最小值。

　　2.3 隨機(jī)搜索法

　　隨機(jī)搜索法[OPTYPE，RAND]，程序完成指定次數(shù)的分析循環(huán)，并在每次循環(huán)中使用隨機(jī)搜索變量值。用戶可以用OPRAND命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定最大迭代次數(shù)和最大合理設(shè)計數(shù)。如果給出了最大合理設(shè)計數(shù)，在達(dá)到這個數(shù)值時循環(huán)將終止，而忽略最大迭代次數(shù)是否達(dá)到。

　　隨機(jī)搜索法往往作為零階方法的先期處理。它也可以用來完成一些小的設(shè)計任務(wù)。例如可以做一系列的隨機(jī)搜索，然后通過查看結(jié)果來判斷當(dāng)前設(shè)計空間是否合理。

　　2.4 等步長搜索法

　　等步長搜索法[OPTYPE，SWEEP]用于在設(shè)計空間內(nèi)完成掃描分析。將生成n*NSPS個設(shè)計序列，n是設(shè)計變量的個數(shù)，NSPS是每個掃描中評估點的數(shù)目(由OPSWEEP命令指定)。對于每個設(shè)計變量，變量范圍將劃分為NSPS-1個相等的步長，進(jìn)行NSPS次循環(huán)。問題的設(shè)計變量在每次循環(huán)中以步長遞增，其他的設(shè)計變量保持其參考值不變。設(shè)計序列中設(shè)計變量的參考值用OPSWEEP命令的Dset指定(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)。

　　用下列方法圖示設(shè)計變量數(shù)值和響應(yīng)變量的數(shù)值關(guān)系：

　　Command: OPLSW

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Sweeps

　　2.5 乘子計算法

　　乘子計算法[OPTYPE，F(xiàn)ACT]用二階技術(shù)生成設(shè)計空間上極值點上的設(shè)計序列數(shù)值。(這個二階技術(shù)在每個設(shè)計變量的兩個極值點上取值。)可以用OPFACT命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定是完成整體的還是部分子的評估。對于整體評估，程序進(jìn)行2n次循環(huán)，n是設(shè)計變量的個數(shù)。1/2部分的評估進(jìn)行2n/2次循環(huán)，依此類推。

　　可以用棒式圖和表格顯示目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的某些方面。例如，可以圖示每個設(shè)計變量對目標(biāo)函數(shù)的主要作用。用戶同樣可以查看兩個和三個變量之間的互相作用。

　　用下列命令顯示棒式圖：

　　Command: OPLFA

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Factorial

　　2.6 最優(yōu)梯度法

　　最優(yōu)梯度法[OPTYPE，GRAD]計算設(shè)計空間中某一點的梯度。梯度結(jié)果用于研究目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的敏感性。用下列方式指定在哪個設(shè)計序列計算梯度：Command: OPGRAD

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　用戶可以用圖顯示設(shè)計變量和響應(yīng)變量的數(shù)值。縱坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)或狀態(tài)變量的實際數(shù)值。橫坐標(biāo)表示設(shè)計變量一個小的(1%)變化值。用下列方法列表表示結(jié)果：

　　Command: OPRGR

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Print

　　3、本篇總結(jié)

　　本篇介紹了ANSYS優(yōu)化設(shè)計模塊集成的優(yōu)化設(shè)計算法的基本思想，對想要進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究ANSYS優(yōu)化設(shè)計的人來說，深刻的理解了這些算法才能更好的將優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用于工程問題的分析，并且能夠?qū)⒆约旱膬?yōu)化思想轉(zhuǎn)換成優(yōu)化算法集成到ANSYS平臺下，為自己的分析服務(wù)。