前言
90年代中期出現的虛軸機床引起了整個機械制造業的關注，被稱為是“本世紀機床設計的首次革命性變革”。這種機床實際是一種空間并聯連桿機構，其基本結構是一個活動平臺、一個固定平臺和連接兩個平臺的六根連桿。不斷改變六根桿的長度，活動平臺便產生6自由度的空間運動，帶動刀具在工件上加工出復雜的三維曲面。與傳統機床相比，虛軸機床具有剛性高、精度高、運動速度高和機械結構簡單等優點，但其不足之處是工作空間小于同等尺寸的傳統機床。
麻花鉆后刀面是復雜的三維曲面，而且刃磨鉆尖時只需要很小的工作空間，所以在鉆頭刃磨機上采用虛軸機床的結構將是非常適宜的。本文將對在虛軸鉆頭刃磨機上刃磨圓錐面鉆尖進行探討。
1 機床結構的矢量表示
鉆頭刃磨機要使鉆頭相對于砂輪產生給定的三維運動，為此將鉆頭安裝在活動平臺上，砂輪安裝在固定平臺上。在固定平臺上建立坐標系OBxByBzB，在活動平臺上建立坐標系OPxPyPzP（圖1）。各桿用矢量Li（i=1，2，…，6）表示，各桿與固定平臺交點的位置用矢量Bi（i=1，2，…，6）表示，各桿與活動平臺交點的位置用矢量Pi（i=1，2，…，6）表示，砂輪中心高用矢量h表示，砂輪中心至磨削點的半徑用矢量r表示，被磨鉆頭懸伸部用矢量d表示（圖1）。在給定結構下，Bi在OBxByBzB坐標系內和Pi在OPxPyPzP坐標系內分別為常矢量，記為BiB和PiP。
磨削錐面鉆頭時，錐面、鉆頭、砂輪的初始相對位置見圖2，控制這一相對位置的參數稱為磨削參數。錐面鉆尖的磨削參數有五個，其中q為錐面的半錐角，b為鉆頭主切削刃在鉆頭端截面內投影與xP軸夾角，f為錐軸線與zB軸夾角，H為錐頂到鉆尖頂端距離在錐軸上的投影，d1為錐軸線與鉆頭軸線的距離。
圖2中O′x′y′z′為錐面坐標系，z′為錐軸。錐面在O′x′y′z′坐標系中的方程是
x′2+y′2-z′2tg2q=0
（1）
Oxyz為鉆頭坐標系，利用坐標的平移和旋轉可得到錐面在Oxyz坐標系中的方程為
#p#分頁標題#e#
式2給出了磨削參數q、b、f、H、d1之間的關系，任選其中四個，就可求出第五個。故錐面磨削法有四個獨立的磨削參數。一些文獻中均推薦了q、f、H、d1作為獨立磨削參數，需用四個獨立的方程求出。這些方程實際是鉆頭幾何參數和磨削參數的關系式，對于給定的鉆頭幾何參數如半頂角?、橫刃斜角y、結構圓周后角afc等，可以得到相應的表達式，從而求出四個獨立的磨削參數，然后由式2求出第五個磨削參數。這一過程在許多文獻中均有介紹，此處不再贅述。
刃磨時，先根據五個磨削參數調整鉆頭初始位置，即主切削刃接觸砂輪外圓柱母線，鉆頭軸線與錐面軸線在空間相錯，距離為d1。直線QQ′為二軸線的公垂線，垂足分別為Q和Q′（圖2）。刃磨時鉆頭軸線繞錐面軸線旋轉，Q點位置不變，二軸線夾角始終為f。
為便于推導，在錐軸上建立中間坐標系O*x*y*z*，原點O*與O點重合，z*與錐軸重合，y*平行于yB，x*由右手定則確定如圖2所示。O*在OBxByBzB系中的位置可由徑矢TCB確定
TCB=（-bcos（q+f），0，bsin（q+f）+h+r）T
式中
b=Htgq/sinf
（4）
，H，d1，q——已確定的磨削參數
在刃磨初始位置時OPxPyPzP系在O*x*y*z*系內的方向可由矩陣RPC0確定
采用錐面法磨鉆頭時，zP軸繞z*旋轉，轉角為-r，r稱為運動變量。根據麻花鉆刃瓣寬度，r的范圍大約為0°～100°。轉動后O#p#分頁標題#e#PxPyPzP系在O*x*y*z*系內的方向矩陣變為
式中 RzC（-r）——繞z*軸轉-r角度的旋轉矩陣
OP點在O*x*y*z*系中的位置可用徑矢TPC表示，在初始位置時
TPC0=（asinf，-d1，acosf）T 由圖2及式4可見
a=d-b=d-Htgq/sinf 繞z*軸轉動-r角度后
由于z*軸和zB軸夾角為?′=90°-q，故OPxPyPzP系的方向矩陣在OBxByBzB系中的表達式為
OP點的位置矢量在OBxByBzB系中的表達式為
式（8）和式（9）即為磨削錐面鉆尖時的運動方程。
4 桿長計算
由圖1可見，桿矢量可表示為
Li=T+Pi-Bi
（10）
式中T=h+r+d為OP點和OB點的相對位移矢量，在OBxByBzB系中表達時記為T#p#分頁標題#e#PB。
式（10）中的各矢量需要表達在同一坐標系中，而方向矩陣RPB又稱為轉換矩陣，可將PiP轉換至OBxByBzB系中
PiB=RPBPiP
（11）
故得桿矢量在OBxByBzB坐標系的表達式為
LiB=TPB+RPBPiP-BiB
（12）
對于給定的機床結構，PiB和BiB均為常矢量。位移矢量TPB和轉換矩陣RPB均已求出，見式（8）、式（9）。磨削過程中運動變量連續變化，則所得桿長也連續變化。用此變化值去控制各桿的伸縮，便可使活動平臺產生預定的運動。
5 結論
1 機床結構的矢量表示
2 鉆尖錐面磨法的磨削參數
圖1 機床結構的矢量表示
圖2 鉆尖的錐面磨法原理圖
（2）3 鉆尖錐面磨法的運動方程
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）4 桿長計算
5 結論
- 虛軸機床實質上是空間并聯連桿機構，可以用矢量表示虛軸機床的基本結構，使運動的計算十分方便。
- 根據磨削參數和錐面鉆尖的形成原理，利用矢量的平移和旋轉來表示活動平臺相對于錐面和固定平臺的運動，從而推導在虛軸機床上刃磨圓錐面鉆尖的運動方程，運動方程由活動平臺的位移矢量耐磨焊條TPB和方向矩陣RPB組成。
- 利用刃磨運動方程可求出桿長矢量，用以控制桿長變化，使機床產生刃磨運動。
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