二、復合角度锪刀刃磨運動模型

1. 機床坐標系
   刃磨空間復合角度刀具的機床一般需設置5個坐標(3個移動坐標和2個轉動坐標)。典型的機床坐標系如圖2a所示，其中X軸為機床工作臺縱向移動，Y軸為機床溜板(或砂輪頭架)橫向移動，Z軸為砂輪頭上下移動，c軸為機床圓工作臺(水平轉臺)的轉動，d軸為工件主軸(刀具軸線)的轉動。X、Y、Z軸的移動相互垂直并相互獨立，水平轉臺位于機床工作臺之上并隨工作臺一起運動，其軸線與Z軸相一致，工件主軸位于水平轉臺之上并隨水平轉臺一起轉動，其軸線與水平轉臺軸線垂直相交，其交點設為坐標系原點。為了使刀具準確定位，刀具安裝在工件主軸上的位置應能調整。通常工件主軸支座安裝在小滑板上，移動小滑板，可使刀具沿工件主軸軸線方向(u向)移動。
2. 角向位置計算
   
   設刀面i的單位法矢量為_i(見圖3)，則有：

   i=[ xni ]=[ cosgoisinbHi ] yni cosgoicosbHi zni singoi

   (1)

   式中g_oi為刀面i法矢量的方向余角(與XOY坐標平面的夾角)；b_Hi為刀面i法矢量在XOY坐標平面上的投影與Y軸夾角。
   
   圖1 氣門口復合角度锪刀
   
   若采用碗形砂輪刃磨(圖2b)，且令砂輪工作平面與Y軸相垂直，則刃磨刀面i時應使其法矢量與Y軸的反方向相一致。為此可由圖2b的位置出發進行下面的兩次旋轉：

   1. 令刀具繞自身軸線(此時為X軸)轉w_d角，使刀面i的法矢量轉至XOY平面(第4象限)上，顯然有：

      wd=-arctan( zni ) yni

      (2)

      
      
      經此旋轉后，_i轉至'_i的位置：

      'i=[ x'ni ]=[ xni ] y'ni ynicoswdi-znisinwdi z'ni ynisinwdi+znicoswdi 圖2 機床坐標系與刀具刃磨起始位置

      (3)

   2. 令刀具繞Z軸轉w_c角，使刀面i的法矢量轉至Y軸位置，應有：

   wci=arctan( x'ni ) y'ni

   (4)

   例如，在圖2b所示位置上，刀面I的法矢量與XOY平面的夾角g_o1=5°，其在XOY平面上的投影與Y軸的夾角b_H1=150°，由式(1)、(2)、(3)、(4)可分別求出：

   1=[	0.499	]；wd1=3.463°；'1=[	0.499	]；wc1=-29.955°
   	-0.865		-0.866
   	0.053		0

   同理可求出其它刀面由刃磨起始位置(圖2b所示位置)轉至刃磨位置的轉角w_d和w_c。
   1. 空間坐標計算
      取刀面上一點P，其矢量表示為：

      p=[

      xp yp zp

      ]

      P點與刀具一起繞自身軸線(圖2b位置為X軸)轉w_d角后，_p變為_p1：

      p1=[ xp1 ]=[ xp ] yp1 ypcoswd-zpsinwd zp1 ypsinwd+zpcoswd

      (5)

      _p1繞Z軸轉w_d角后，變為_p2：

      p2=[ xp2 ]=[ xp1coswc-yp1sinwc ] yp2 xp1sinwc+yp1coswc zp2 zp1

      (6)

      例如，刀面I上P₁點在圖2b所示位置的矢量為：
      
      圖3 刀面法矢量

1. 經繞自身軸線(X軸)旋轉w_d1，再繞Z軸旋轉w_c1后得到：

   p2=[

   43.044 -38.344 -0.710

   ]

2. 機床各軸運動量
   刀面i由刃磨初始位置移至刃磨位置，各坐標軸的運動量如下：

   {

   Dxi=xPR-xpi2 Dyi=yPR-ypi2 Dxi=zPR-zpi2 Ddi=wddi Dci=wcdi

   (7)

   式中x_PR、y_PR、z_PR為刃磨初始位置砂輪上參考點的坐標，x_pi2、y_pi2、z_pi2為刀面i上對刀點由刃磨初始位置經繞自身軸線(X軸)旋轉w_di角，再繞Z軸旋轉w_ci角后的坐標。式(7)即可理解為空間復合角度刀具刃磨運動模型。

四、結論

1. 本文以氣門口锪鉸刀為例，說明了空間復合角度锪刀數控刃磨的原理與方法，該方法也同樣適用于其它空間復合角度刀具的數控刃磨。
2. 本文所述方法的核心是運用矢量方法計算所需刃磨的刀面由刃磨初始位置運動至實際刃磨位置機床各軸的運動量，按此運動量編制數控加工程序，即可實現空間復合角度刀具的數控刃磨。
3. 上述原理和方法，在普通工具磨床上配置精密轉臺和分度頭，也可以實現空間復合角度刀具的刃磨。